只用积木，没有胶水，数学家如何搭出一座跨洋大桥

有一项令人惊奇的实验，你在家就能试着做做：找一些相同的长条形积木放在桌子上。拿起一块积木，慢慢地将它向桌边推，直到它即将坠落的临界点。只要你足够有耐心、手足够稳，就能让它恰好一半悬在桌外。现在，取两块积木，重新开始。把一块积木叠在另一块上，你能让顶部积木的末端伸出桌边多远？

继续增加积木数量。如果允许你堆叠任意多层积木，这个像塔桥一样的结构在倒塌前最多能伸出多远？塔顶能否伸出整整一块积木的长度？伸出两块积木的长度可行吗？答案令人震惊：这座堆叠的“塔桥”可以无限延伸。理论上，一座自支撑的积木桥可以横跨美国大峡谷，完全不需要胶水。

当然，现实世界的种种限制，比如积木形状的不规则、气流扰动、无限堆叠带来的压力等，都会让这一工程构想难以实现。不过，理解为何积木能在理想数学世界中无限延伸，依然具有启发性。答案的关键在于两个简单却有力的概念——数学中的调和级数与物理学中的质心。

直觉可能告诉你：单块积木最多能有一半悬在桌外。但为什么是这样呢？每个物体都有一个质心——当我们考虑物体平衡时，可以想象将整个物体的重量集中于这一点。只要质心位于桌面正上方，物体就能保持稳定；一旦质心越过桌沿，重力便会将物体拉倒。

以勺子为例，由于其质量分布不均，质心靠近勺头（较重部分），因此我们可以让勺柄的一半以上悬在桌外。在积木桥模型中，我们假设所有积木都是完全相同且密度均匀的长方体，因此每块积木的质心都位于其正中心。当积木数量增加时，必须考虑整座塔的质心。以两块积木为例：已知顶部积木可相对于下方积木伸出其一半长度。但在此基础上，底部积木最多能再向外推出多远？

不妨设积木长度和重量都为1。你会发现底部积木只能再伸出1/4长度（单独一块时可伸出1/2）。此时，顶部积木的质心在桌沿外1/4处，底部积木的质心在桌沿内1/4处，二者到桌沿的距离相等，因此整个两积木系统的质心恰好位于桌沿正上方，刚好平衡。

随着积木数量增加，规律逐渐显现：最顶层积木相对于下一块伸出1/2，第二块伸出1/4，然后是1/6、1/8、1/10、1/12，依此类推。要理解其中的奥秘，让我们先看另一个例子：假设已有5块积木组成的稳定塔，现在在其下方添加第六块，并将整体尽可能向外推出。将这个问题简化为只有两块积木会很有帮助：一块质量为5的积木放在一块质量为1的积木上。我们首先将重的积木尽可能地推出，使其质心恰好位于底部积木边缘的正上方。然后,我们可以将底部积木正好推出桌边1/12单位。但为什么是这个数字呢？

答案仍然归结为平衡两块积木的质心，但这一次顶部积木重5倍，因此底部积木的质心必须在桌面边缘向内5倍远的位置才能抵消重量——这就是著名的杠杆定律。想象一下，当你手拿一本书并把手臂缓慢向外伸展，你会感觉手中的书越来越重。当你完全伸展手臂时，拿一本平装书的感觉可能相当于在贴近胸口处拿一本大字典。而在此例中，顶部积木质心到桌沿的距离为1/12，底部积木质心到桌沿的距离为1/2−1/12=5/12，恰好是前者的5倍。类似计算可确定积木塔中每一层的正确悬挑长度。

所以，塔最多能伸出多远？这相当于把所有这些悬挑长度相加。如果你有10块积木，它们可以伸出桌外1/2+1/4+1/6+…+1/18+1/20≈1.464块积木的长度。最终延伸长度的极限就是上述求和的极限，刚好等于1/2×（1+1/2+1/3+1/4+1/5+…），括号里的部分就是数学中著名的调和级数。

我们知道当对某些递减正数数列求和时，有时极限会收敛到有限值，有时发散到无穷大。调和级数的增长极其缓慢：前10万项之和约为12.1，前100万项也仅约14.4。尽管如此，调和级数仍坚持不懈地以蜗牛速度发散到无穷大，因此我们的“塔桥”也可以延伸至无穷远。

当然，将纯数学转化为现实总会遇到障碍，但这刚好提供了一个有趣的搭积木挑战：你能否用四块积木（1/2+1/4+1/6+1/8≈1.042）延伸出桌外一个积木的长度？（这真的可以做到！）

若想延伸出两个完整积木的长度，需要31块积木；而即便使用一亿块，延伸长度也不足10。这样看来，用积木横跨美国大峡谷似乎也不太容易。有趣的是，在现实当中，物理学会发挥作用，颠覆数学家的思考乐趣。但在理想条件下，质心和调和级数提供了无穷无尽的可能。

本文来自《环球科学》2025年11月刊数学专栏《不可思议的积木堆叠》一文。

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