大问题：双信封悖论

我是红交换，我觉得，当然应当交换红包啊！这个问题很简单，我们可以这么看，情况就是老板给了两个红包，钱更多的那个就叫大红包，钱更少的那个就叫小红包。其实，我们拿到其中任何一个红包的概率都是50%。现在，我们已经拿到了一个10万块钱的红包，那另一个红包就有50%的概率有100万，有50%的概率有1万。

我们上初中的时候都学过计算数学期望值（Expected Value），也就是可能的收益乘以它的概率，因此我们只需要简单地算一下期望值就知道答案了，计算过程如下，如果我们不换红包的话，就没有新增收益，当然，也肯定不会有额外损失，所以期望值就是可能收益0乘以概率100%，依然等于0，不换红包的期望收益是0。

换红包的期望收益是多少呢，有两种可能，第一种可能是我们拿小红包换大红包了，也就是100万-10万，有90万的可能收益，乘以50%概率的可能性；再加上第二种可能，也就是我们拿大红包换小红包了，也就是1万-10万=-9万，损失了9万元，再乘以50%概率的可能性；两项一加，最终的期望值是40.5万，这就是净收益啊，那肯定得换啊。

这个数学公式如果你看着觉得抽象的话，我翻译成人话说就是，为什么肯定要换呢，那就是换的话，一半一半的可能，要么收益90万，要么亏损，但亏损也就亏损9万元。哪怕你是再厌恶风险的人，但这道题的收益和风险也太不对等了。你要是去做生意、做投资，现在哪儿能找到这么好的项目，要是赚能赚90万，要是亏顶多也就亏9万块，那这项目我肯定投了啊！这就相当于抛硬币，正面朝上你赚90万，反面朝上你赔9万，那你说这游戏你要不要玩？这道题太简单了！

红交换你这算得明显不对，如果像你这样算的话，就会造成一个悖论——试想，如果老板把你想换的那个红包发给另一个团队的人了，同样也问他们要不要换红包，就会出现悖论了。

具体什么样的悖论呢，这里我们分两种情况，情况1就是另一个团队收到的红包里面有1万元，情况2就是他们的红包里有100万元。他们的规则和我们一样，他们知道他们手中那个红包的金额，但是不知道我们手里这个红包的金额。如果他们那个团队里也有你红交换这样脑筋的人的话，他也会用你的思路去算这个期望值。也就是在情况1中，他们打开红包发现里面是1万块，那么他们会认为另一个红包有50%概率有10万元，有50%概率有1千元。因此，不换的期望值是0元×100%=0元。换的期望值是，第一种可能是小红包换大红包收益9万元，乘以50%的概率，加上第二种可能，大红包换小红包，亏损9千元，乘以50%的概率，最终结果是整体净赚4.05万元，那当然要换红包。这是第一种情况。

在情况2中，也就是他们团队打开红包发现是100万元，那么他们会认为另一个红包有50%概率有1000万，有50%概率有10万元。不换的期望值是0元×100%=0元。换的期望值是，第一种可能小红包换大红包收益900万元，乘以50%的概率，加上第二种可能大红包换小红包，亏损90万元，乘以50%的概率，最终结果是整体净赚405万元，依然是应当换红包。

这也就是说，无论哪种情况，另一个团队的人都应当选择换红包。

这也就是说，按照红交换的思路，两个不同团队的人都会认为，应该用自己的红包换对方的红包，因为换红包对于两个团队的人来说都会产生正的期望收益。但是，这就出现悖论了，两个红包里的总金额是不变的，怎么互相交换一下红包就能让两个团队都产生正的期望收益？这就是所谓的双信封悖论（Two Envelopes Paradox）。交换的双方中必然有一份要亏嘛，怎么可能交换一下就双赢了呢，双方都赢，能赢两次，红交换啊，你真是赢麻了啊。

其实，这并不是像红交换说的抛硬币游戏，啊正面朝上赚90万，反面朝上赔9万，并不是这样的抛硬币游戏，而是这样的游戏：老板拿了两个红包摆在桌上，其中一个大红包，一个是小红包，但不告诉你哪个是大红包。然后让你选一个，你说你选哪个？其实，选哪个都一样，因为无论你选哪个红包，都有50%的概率选到大红包，也有50%的概率选到小红包，选哪个都一样。

好，就在这时候，老板又跟你说，左边这个红包里面放了10万元，就多了这么一个信息，你现在就能知道哪个是大红包哪个是小红包了？不会的！说白了，知道其中一个红包里有10万元，这个信息，并不能增加或降低这个红包是大红包或小红包的概率，这10万元对于换红包游戏而言，是个无效信息！这个游戏依然是，一个大红包，一个小红包，你不知道哪个是大红包，然后选哪个都一样，都是50%的概率。

我举个例子，你知道小明的哥哥比小明大2岁，再告诉你他们其中一个人今年23岁，那么你知道这人是小明还是小明哥哥？答案是你不知道，因为23岁带不来任何有用信息。

所以，红交换的期望值的算法之所以会导致双信封悖论，就是因为他错误地将已经抽到的10万元这个无效信息，当成了计算的依据了，这就算错了，所以，这才导致了悖论。

那正确的算法是什么呢？正确的算法就是，我们在计算的时候，不要考虑10万元这个无效信息！

因此，正确的期望值的算法是：不换的算法是一样的，期望值是0元。换的算法应当怎么算呢，再说一遍，不要考虑10万元这个无效信息，因此，我们假定总共有11份的钱，也就是11x元钱，x是任意正数，然后这11x的钱被装进了两个红包里。大红包里有10x元，小红包里有1x元。由于红包是老板随机给我们的，我们现在有50%的几率拿了小红包，也有50%几率拿了大红包。因此换红包的期望值的正确算法应当是，第一种可能是拿小红包换大红包，收益是10x-1x元，收益9x元，乘以50%的概率，再加上第二种可能，拿大红包换小红包，1x-10x=-9x元，亏损9x元，乘以50%的概率，然后一通小学一元一次方程计算，最终算下来换的期望值是0元。

所以你看，换红包和不换红包的期望值是一样的，都是0！

这个算法翻译成大白话就是说，换红包的话，你有50%的几率收益9x元，也有50%的几率损失9x元。这才是正确是算法，这种算法就不会遭遇到双信封悖论，如果有另外一个团队的话，我们换红包的净收益是0，他们也是0，加起来依然是0，这就不会造成双方都是正的期望收益但实际上有一方会出现亏损的悖论了。所以，基于换红包和不换红包的净收益都是0，很明显，我的结论就是，换和不换都一样！这就是我蓝都行的看法。

我的算法并不会造成什么悖论啊，谁说两个团队如果都是正的期望收益就会造成悖论了？双方都有正的期望收益不等于双方都有正的实际收益啊。

我举个例子你就明白了：假设有一种新型彩票，就是一个袋子里装有编号为1到100的100个小球，买彩票的人可以从袋子中盲抽一个球，抽到的球上的编号是多少就能兑换多少钱。

现在甲乙两个人各自抽了一个小球。甲抽中了一个3号球，但是他不知道乙抽中的什么，请问甲应不应该用现在这个3号球换乙手上的球？肯定应当换呀。一共100个球，期望收益应该在平均值50左右，甲只抽到3号，明显低于平均值，所以甲应该换。

好，我们再假设乙正好抽中了2号球，同样乙也不知道甲抽中了几号，请问乙应该跟甲换吗？很明显乙也应该跟甲换，因为在乙的视角里，甲更有可能拿到一个比数字2更大的球，这个道理和之前甲为什么也应该跟乙交换的道理是一样的。因为甲乙两人都只得知一部分的信息而不知道另一部分的信息，所以他们只能在不完全信息的情况下做出决策，虽然我们站在全知的上帝视角看甲可能会觉得甲很蠢，因为甲用3号球去换2号球，但是对于只有部分视野的甲，他做得事情完全是正的期望收益的。这里面没有什么悖论啊。这就我对蓝都行的回应。

我是黄难判，刚刚听了红交换和蓝都行你俩之间的争论，我先说我的观点：你们俩都错了。

刚刚蓝都行批评红交换的时候说，手头红包里有10万元这个信息，对于我们是否应当换红包而言是个无效信息，因此我们在计算期望值的时候不应当考虑它。这里我可以站一下红交换，帮他来回应蓝都行，就是说，这10万元不是无效信息，确实是应当纳入考量的。但是，我又不同意红交换的地方在于，10万元这个信息，不应当纳入期望值的计算里，我们知道10万元这个信息导致的后果是，这个期望值反而就完全没法算了！

为什么这个期望值根本没法算呢？算期望值必须要知道概率是多少，下面关键来了，这里我就要指出蓝都行和红交换你们两人共同犯的一个错误，就是你们俩都错误地预设了手头是否拿到的这个红包是大红包或小红包的概率是50%，其实这个概率完全没法确定啊！

确实，如果老板只是给出了两个红包，让我们从中选一个，我们不用考虑其中有个红包的金额是多少，我们选中大红包或者小红包的概率各是50%，这没错。但是，一旦我们知道其中一个红包里有10万块，我们反而就不知道它是大红包或小红包的概率了。

为什么不知道10万元这个金额的时候概率是50%，知道了金额以后反而就没法确定概率了呢？这是因为我们不知道金额的时候，概率是对称的，因此我们做判断的依据就是这对称的概率——要么抽到大红包，要么抽到小红包。但是，当我们打开10万元的红包的那一刹那，概率就不再对称了，而这时候，我们做判断的依据，就从对称的概率转换成了随机数的生成机制，而对于这个随机数的生成机制，我们一无所知，所以，当知道10万元这个数额，对于我们是否要换红包，反而就让我们难判了。

随机数的生成机制包括：1.随机数的取值范围，2.随机数的概率分布。

我们先说第一条随机数的范围，老板说他是随机放了一笔数额的钱到小红包里，问题就在于，这个随机数的范围是多少？

就像刚刚红交换举的抽小球的例子，当有人抽到2号或者3号这样明显小于平均值的号码的时候，他当然知道自己应当交换小球。而这个的前提是，抽小球的人他早已知道小球号码的范围是1到100。但是，咱们换红包的游戏是这样的吗？当然不是啊！我们根本不知道老板往小红包里塞钱的数额范围。

如果老板往小红包塞钱的金额范围是1到5万元，那我们已经抽到的这个10万的红包，肯定就是个大红包了，因此肯定就不用换了；而如果老板塞钱的范围是1到100万，那我们抽到的10万块就不一定是大红包了，这倒是可以去换一换。但是，我们对于老板塞钱的数额范围有任何信息吗？没有啊！你知道老板最近是手头很紧还是手头宽裕呢？你知道老板持有的股票最近是涨了还是跌了呢？这些信息我们都不知道啊。

这是我们缺失的第一条关键信息，随机数的取值范围，那即便假定随机数的范围已经确定了，那缺失的第二条关键信息依然没法让我们决定是否换红包，这是随机数的概率分布。什么意思呢，就是老板往小红包里随机放的这笔钱，是怎么个随机法呢？

为了方便理解，我简单说两种不同的随机法：第一种，老板评估了一下他的现金资产，假设正好有y元，这里y是一个非常大的整数，老板要在1到y这y个数里随机挑选一个数塞进小红包，其实这个y就是随机数的范围。然后老板是怎么在1到y这y个数里随机选了一个数的呢，老板借助了量子计算机，真就纯随机了，计算机屏幕随机滚动从1到y之间的任意整数，然后老板喊三二一停！停到哪个数就往小红包里塞多少钱。这样，这里每个整数都有1/y的概率被选中。这是一种随机法。

第二种随机法，依然假设老板有y元，老板依然要在1到y这y个数里随机选一个数塞进小红包。但这次，老板不是从1到y这y个数里一次性地随机挑了一个整数了，而是老板扔了y次硬币，其中有多少次是正面，就往小红包里放多少钱。这也是一种随机法。

你们看，同样是随机塞钱，同样的随机数范围，两种不同的随机法会得到完全不同的概率分布。第一种随机法导致的小红包钱数的概率分布满足均匀分布，这表现为在1到y之间的一条直线，也就是取所有数值的概率一样；而第二种随机法导致的小红包的钱数分布是一种二项分布，当然这里y是一个非常大的数，那这个二项分布就近似正态分布，也就是形成一条钟形曲线，取值会更集中在中间部位。

不同的随机法导致不同的概率分布，我们大概可以理解为老板往小红包里面塞钱的手法和倾向不同，老板是一把放一个随机数呢？还是分好多次小份小份地放随机数呢？塞钱的手法和倾向不一样影响很大的啊。这就像，你去食堂打饭，食堂阿姨拿勺子的手都会一哆嗦，她是拿大勺子舀一勺大的，然后只哆嗦一次呢？还是拿小勺子舀了好多次，然后哆嗦了好多次呢？这只哆嗦一次还是哆嗦好多次，对你能吃多少肉，影响还是挺大的啊！

好，我们说回来啊，由于缺失了随机数的范围和随机数的概率分布这两条非常关键的信息，导致了我们根本无从判断应不应当换红包。所以，到底要不要换红包啊，这道题很难判。

小黄，你的这个看法，其实不就是我蓝都行的看法的翻版吗？反正我们不知道要不要换，这不就是换或不换不都一样嘛。

不对哦，蓝都行，我说的「现有信息无法支持我们做判断」并不等同于你说的「换或不换都一样」。我打个比方，假如我问你，你是更爱吃苹果还是更爱吃梨？你可能会说，相比苹果我更爱吃梨一点。于是你会用苹果交换梨。那我再问你，你更爱吃苹果还是更爱吃香蕉？你可能会觉得，这两个差不多，我对它们的偏好一样，所以对于是否用苹果交换香蕉，你都行。但是如果我再问你，你更爱吃苹果还是更爱吃佛手瓜？你根本就没吃过什么佛手瓜这种东西，也不知道自己会不会爱吃这种东西，你对它根本没概念，这时你就会说，「我不知道啊，我没吃过佛手瓜」。这就是「现有信息无法支持我们做判断」。

蓝都行的看法是，在现有信息下，换与不换的期望值是一样的，都是0，所以换或不换都一样；而我黄难判的看法是，在现有信息下，这个期望值根本没法算出来。因为我们完全不知道概率。我刚刚说了，我们不知道10万元的时候，概率是50%，但一旦知道了10万元这个信息，由于我们不知道产生这10万元的随机生成机制，对于我们是否要换红包，反而就让我们难判了。

我换个通俗的例子，就好比，一个相亲节目给你选了两个相亲对象，一个收入较高，一个收入较低，你会随机和其中一位约会。那在你完全不知道对方信息的时候，你和那个收入较高的相亲对象约会的概率就是50%。但是，这时候，主持人跟你说，你要约会的这一位月收入是1万元，请问他是收入较高那位，还是收入较低那位？那这时候你反而懵了，你会进一步追问，你们节目组选人的范围是什么？如果节目里的人选大多是月入5千到1万的，那这位月入1万的很可能是较高收入的那一位；但如果节目请的都是精英白领，普遍月入1万到5万，那这位月入1万的反而很可能是收入较低的那一位。但是，你对这个节目组选人的分布一无所知，虽然你得到了「对方月入1万」这个信息，但你反而更不知道自己抽到的那位到底是哪种人。这就是我说的，当我们不知道红包数额的时候，概率是对称的，一旦知道了，概率反而不对称了。

所以呢，红交换和蓝都行虽然给出了不同的期望值的计算公式，但是，你俩的共同错误是，你们都预设了有个50%的抽到大红包或小红包的概率，而我的看法是，我们完全没有办法判断这个概率的取值，因此这个期望值完全就没法算！

我再翻译成人话解释一遍，我们现在已经知道手头这个红包有10万元了，如果10万是个很大的数，甭说50%了，它很可能100%就是个大红包；如果10万是个很小的数，它很可能100%就是个小红包。但是，由于我们不知道随机数的范围和概率分布，对于10万这个数额到底是大是小，我们完全没有谱，结果你们红蓝两人就想当然地给出了个50%的概率，据此还算了半天，这不是算了个寂寞嘛！因此，我黄难判的看法就是，这事儿根本没法算！

红交换

蓝都行

黄难判

红交换

蓝都行

红交换

黄难判

蓝都行

好吧，就让这三个人他们去争吧，屏幕前面的你，对于要不要换红包这个问题，你更赞同这三个人中的谁的看法呢？请投出你的一票，并发表你的看法！

参考文献与扩展阅读:

◆Falk, Ruma (2008). "The Unrelenting Exchange Paradox". Teaching Statistics. 30 (3): 86–88.

◆Syverson, Paul (1 April 2010). "Opening Two Envelopes". Acta Analytica. 25 (4): 479–498

◆Markosian, Ned (2011). "A Simple Solution to the Two Envelope Problem". Logos & Episteme. II (3): 347–57.

◆Yuval Nov [Formant]. (2021, Aug 20). The Two Envelope Problem - a Mystifying Probability Paradox [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=_NGPncypY68

就在这三个人吵的不可开交的时候，老板回来了，老板说：「诶？我们刚看完节目回来，你们怎么吵起来了？为了区区一个换红包的游戏，影响团队的团结，这样不好嘛！我看啊，今年你们就别拿红包了。等明年你们掰扯清楚了，我再发明年的。」