里奇流与理想玻璃

今天是2026年国际女神节，万物复苏，春意盎然。德州大地翠色初茁，繁华满树。本来期待春风化雨，烟雨朦胧，谁料想这里的春雨一如这里的飓风，暴烈滂沱，雷霆万钧，是笔者平生仅见最具特色的春天。

笔者团队这个阶段一直做基于蒙日-安培方程的AI生成模型，旨在消除幻觉。同时数字几何方面也一直在推进基于离散里奇曲率流的网格生成算法，用于多物理场的模拟仿真。从几何角度而言，黎曼度量的计算是核心中的核心。迄今为止，离散里奇流和蒙日-安培方程是唯二的实用算法能够通过曲面的高斯曲率来重建黎曼度量。

多年以前，有一次张益唐教授和张首晟教授到纽约做公开演讲。笔者有幸和他们深入交流。当时，张首晟教授下榻于中央公园附近的川普大厦，笔者和他在酒店中畅谈了数小时。当时在场的还有西安交通大学的李慧斌教授等人。张教授当时也在硅谷做投资，他的投资信念是“第一性原理”。因此，与传统的投资机构迥然不同，他从来不听商务计划的演讲，而是给创始团队一块黑板，让他们直接推导公式，从而判断创始团队的提案是否符合第一性原理。笔者当时向他请教拓扑绝缘体的理论，他直截了当地回答“拓扑绝缘体就是陈省身示性类”。笔者称赞他用纤维丛的几何拓扑理论解释了深刻的物理现象，他强调说他的工作不仅仅是解释了物理现象，并且能够预言如何构造新的材料，从而突破当前芯片的物理极限。他调侃道：“拓扑绝缘体的名字当初起得不好，应该叫拓扑半导体，这样才会吸引资本”。笔者也详细向他解释了离散里奇流的思想方法，和我们用几何变分法给出的存在唯一性证明。张教授提了很多问题，对于关键概念和定理，他让我用汉语讲一遍，再用英语讲一遍，并且给出了很多指导性的意见。他认为拓扑几何中深刻而优美的理论自然而然会对应物理中的某种结构和理论。丘成桐先生也坚信数学和物理都是表达自然结构的不同语言，彼此内在紧密一致，关键的数学思想对物理起到核心作用，深刻的物理思想也促进数学的内在发展。那个时候，人们还没有意识到几何中的里奇曲率流在物理中将如何起到作用。近几日，突然有消息报道说物理学家们用类似离散曲面里奇流的思想构造了“理想玻璃”从而解决了近一个世纪的考兹曼（Kauzmann）佯谬（paradox），这无疑验证了张首晟先生的关于里奇流在物理中起作用的预言。可惜张先生已经作古，令人无限唏嘘。

1948年，在普林斯顿大学任教的考兹曼（Walter Kauzmann）教授提出了著名的考兹曼佯谬：考虑一个物质在降温过程中的熵，这里是绝对温度。晶体具有高度有序的结构，因此熵比较小。根据热力学第三定律，在绝对温度为零时晶体的熵为零，系统处于唯一的基态（理想晶体）。这是因为，其中代表微观态的数目，对于理想晶体，原子排列完全确定，基态唯一，由此，。液体结构无序，通常比晶体大。当温度降低，液体熵下降速度比晶体快，在某个温度，液体熵等于晶体熵，这个温度被成为考兹曼温度。如果越过, 液体熵反倒低于晶体熵，这意味着液体比晶体更有序，但是晶体已经是最大有序结构，因此出现矛盾：无序结构不可能比有序结构更低。

现实中不会发生这个交叉。在某个温度附近，液体失去平衡能力，粘度迅速增加，弛豫时间爆炸，系统进入玻璃态，而不是继续下降到考兹曼温度。这里弛豫时间表示粒子从一个能量谷跳到另一个能量谷所需时间，即系统恢复到热力学平衡的时间尺度。由此，液体发生热力学相变，进入玻璃状态。

液体流动，结构无序，晶体固定，结构有序；液体和晶体都处于热力学平衡状态。而玻璃固定，结构无序，处于热力学非平衡状态。玻璃可以被视为被冻结的过冷液体结构。在温度时刻，玻璃的熵可以写成：

这里震动熵来自粒子在一个能量谷中的震动，即类似于固体声子熵；而构型熵来自不同能量谷数量：

即系统可以访问多少个构型。考兹曼理论预测在时，玻璃的震动熵约等于晶体的声子熵，因而玻璃的构型熵趋于零，，即，系统只剩下一个能量谷，粒子构型唯一。那么考兹曼佯谬最终归结为这样一个经典问题：理想玻璃（Ideal Glass）是否存在？ 这里的理想玻璃是物质的一种特殊状态：它无序结构（非晶体）但却构型唯一（构型熵为零），具有极高的机械稳定性。

由于理想玻璃的弛豫时间远远超过实验时间，使用传统的冷却方法无法到达这种难以捉摸的状态。近日以来，俄勒冈大学、宾夕法尼亚大学和雪城大学的研究人员通过模拟的方法来构建理想玻璃，发表在《物理评论快报》上【1】，而他们的构造方法与离散里奇流的方法一脉相承。

里奇流（Ricci flow）是有Richard Hamilton教授发明的一种几何分析方法，旨在证明拓扑中的庞加莱猜想。所谓的里奇流就是将黎曼流形的黎曼度量进行形变，形变速率和当前曲率成正比，这样曲率就会趋近一个常值。丘成桐先生的团队与Hamilton合作，建立了里奇流的理论，最终Perelman证明了庞加莱猜想。曲面的里奇流具有更加简单的形式和更加丰富的内涵。给定可定向、封闭、带度量的曲面，黎曼度量决定的高斯曲率为，那么高斯-博纳定理断言，总曲率是拓扑不变量

这里是曲面的亏格（genus），是曲面的欧拉示性数。曲面的归一化里奇流为：

这里是时刻时，曲面的总面积。里奇流的理论保证当时，度量诱导常值高斯曲率，。更进一步，在任意时刻，度量与初始度量共形等价，即存在一个函数，满足

更加广泛的，我们可以将替换成任意的目标曲率函数，满足高斯-博纳定理，那么曲面里奇流可以改写为

里奇流理论同样保证解的存在性和唯一性。

图1. 人脸曲面的黎曼映照，将无穷小圆映射到无穷小圆。

例如，我们希望计算从人脸曲面到平面圆盘的黎曼映照。首先我们设置目标曲率：在曲面内点，令其处处为零;在边界点处，令测地曲率为常值，总测地曲率为。然后我们运行里奇流，得到平直度量。最后，我们将等距嵌入在平面圆盘上。黎曼映照的结果如图1所示。由于里奇流是共形的，所得的黎曼映照保角，如图1所示，保角变换将无穷小圆映成无穷小圆。同时，黎曼映照并不唯一，彼此相差一个平面圆盘到自身的莫比乌斯映射，如图2所示。

图2. 莫比乌斯变换。

在计算机中，所有的数据都是离散表示的，我们需要将连续里奇流理论推广到离散曲面上（即三角网格曲面）。数学家们和计算机科学家们发明了多种离散方法。瑟斯顿提出的圆盘填充（circle packing）是最早的方法之一，其核心想法是用三角网格表示曲面，在每个顶点处，将无穷小圆替换成有限圆，每条边的两个顶点处的圆盘彼此相切。图3给出了平面长方形的一个圆盘填充。

图3. 圆盘填充。

我们改变每个圆盘的半径，但是不改变圆盘之间的切触结构（即不改变三角剖分），如此来模拟连续的共形变换。与连续情形相同，我们预先定义目标曲率，然后用离散里奇流来改变半径，直至达到目标曲率。离散里奇流的公式与连续情形一致，设顶点处圆盘半径为，那么

图4显示了一个离散里奇流的计算过程。平面一个区域内部有个三角剖分，放置一个圆盘填充，调节圆盘半径，使得边界顶点处的圆盘与单位圆相切，三角剖分诱导一个分片线性映射，模拟了离散黎曼映照情形。瑟斯顿（Thurston）猜想，如果三角剖分逐步加细，那么离散映射会收敛到连续的黎曼映射。后来，Sullivan和Rodin证明了瑟斯顿的猜想。

图4. 离散黎曼映照。

Koebe-Thurston定理断言：给定一个平面图（graph），我们可以在球面上实现一个圆盘填充，每个顶点上放置一个球面圆盘，每条边上的两个圆盘彼此相切。对偶地，每个胞腔内部有一个内切圆，每条边相邻的两个胞腔对应的内切圆彼此相切，同时顶点圆与胞腔圆相互垂直，每条边上四圆共点。这种圆盘填充并不唯一，彼此相差一个球面到自身的莫比乌斯变换。图5显示了两个球面圆盘填充的例子。更加广泛的，这一定理可以推广到无穷三角剖分情形，最终我们依然可以得到球面上的无穷圆盘填充，彼此相差一个莫比乌斯变换。通过投影，我们将球面圆盘填充映射到平面上：给定全平面的一个无穷三角剖分，存在一个无穷圆盘填充，彼此相差一个莫比乌斯变换，通过固定三点，则莫比乌斯变换被固定下来（即为平面的恒同变换）。这与连续情形相同，如果我们有一个平面到自身的保角映射，固定三点不变，则此保角变换和恒同映射。这也被称为是共形几何的全局刚性。Thurston定理可以推广到环面上，即环面上给定一个三角剖分，如果存在一个圆盘填充使得曲率处处为零，（这样的圆盘填充有可能并不存在），则这种圆盘填充彼此相差一个相似变换，如果固定其中一个圆盘的半径，则圆盘填充唯一。这种共形刚性对于任意拓扑都成立。

图5. 球面的圆盘填充。

理想玻璃的构造

物理学家们应用环面上的圆盘填方法来构造理想玻璃。首先，他们将环面表示成一个周期边界的正方形，然后在其内部随机放置个圆盘，每个圆盘代表一个粒子，半径来自对数正态分布。调节粒子的位置，和粒子半径，使得粒子间作用的能量达到最小：所有粒子不再移动，每个粒子上合力为零，得到堵塞的填充(jammed packing)。然后每个粒子具有位置和半径，定义加权距离，计算加权Delaunay三角剖分。然后可以应用Thurston定理和离散里奇流，计算得到唯一的圆盘填充。再将平环周期性地铺满这个平面，得到平面上唯一地圆盘填充，即构造了一种理想玻璃。由共形刚性，这种圆盘填充构型唯一，理想玻璃的构型唯一，因此玻璃构型熵为0，理想玻璃的熵等于晶体熵，从而完美地解决了考兹曼佯谬。图6显示了他们构造地堵塞填充（右帧）和理想玻璃即圆盘填充（左帧）。由此我们看到，理想玻璃的存在本质上归结为圆盘填充的构型唯一性，即共形映射的刚性，即里奇流方程解的唯一性，几何思想解决了物理上的悖论。

图6. 理想玻璃【1】。

从几何学家的观点来看，这个工作有个不严密的地方，即给定加权Delaunay三角剖分之后，使得曲率处处为零的圆盘填充不一定存在，可能需要改变三角剖分。如果用更为Thurston理论后的离散曲率流方法，则可以证明解的存在性。

从物理观点来看，如此构造的理想玻璃完全满足了五个苛刻的条件。构型熵为零，没有晶体序，机械性质像晶体而极其稳定，超均匀性即大尺度密度波动消失，极高稳定温度。因此，理想玻璃结合了晶体的稳定性（构型唯一）和非晶体的各向同性，有望应用于各种材料设计。由它的超均匀性、大尺度密度涨落为零，可以应用于光子芯片、光通信器件；由它的高剪切模量、无晶格方向、各向同性力学性能，可以用于机械超材料设计；由它极高稳定性、极高融化温度，可以设计高温材料和精密仪器。我们看到几何特性决定了物理特性，几何与物理的和谐统一。