伊斯坦布尔——时代的“呼愁”

2026年7月6日，国际几何建模（Geometric Modeling）领域的两大核心学术会议——实体与物理建模会议（Solid and Physical Modeling 2026）与形状建模会议（Shape Modeling International 2026）在土耳其伊斯坦布尔理工大学（Istanbul Technical University）联合举行。期间，大会授予笔者国际实体建模协会会士（SMA Fellow）荣誉称号，以表彰计算共形几何为几何建模领域做出的基础性贡献。

这一成果的取得，离不开多方力量的凝聚。笔者首先由衷感谢丘成桐先生，丘先生作为引路人，不仅引领笔者进入了几何分析的核心殿堂，更领导众多学者共同创立并拓展了计算共形几何这一融合基础数学与计算机科学的战略性前沿交叉领域，推动了现代几何拓扑理论在工程与医学领域的工程化应用。此外，笔者对学术界的所有导师、合作者、同行及学生致以诚挚的谢意，感谢他们为推动该领域发展所付出的不懈努力；亦对海内外工业界的合作伙伴表达由衷感谢，特别是笔者的挚友加合作伙伴Cadence的全球副总裁顾鑫先生，正因他们的远见卓识，才得以发掘计算共形几何在CAD/CAE工业中的核心价值，并通过持续的实际应用支持，推动抽象数学理论向实用工业软件的成果转化。

2026年计算共形几何课程预告

自2012年起，笔者每年暑假都会开设“计算共形几何”这门课程。课程起初主要在清华大学丘成桐数学科学中心进行线下授课，疫情后则逐步移至线上。

这门课程旨在架起纯数学理论与现代工业应用之间的桥梁。在数学理论层面，课程将深入浅出地讲解代数拓扑、曲面微分几何、黎曼面理论、曲面里奇流、凸微分几何与最优传输以及几何偏微分方程的基本概念与经典定理；在计算机实现层面，重点讲解如何将这些高深的数学定理转化为可运行的计算机算法；在应用层面，课程内容则广泛辐射至医学图像曲面配准、3D视觉形状识别与分类、图形学曲面参数化，以及当下火热的AI几何生成模型。

本年度课程计划于2026年7月20日正式开课，此后逢每周一、三、五北京时间晚上 21:00线上准时开讲。课程指定教材为笔者与丘成桐先生合著、高教出版社出版的《计算共形几何-理论篇》以及英文版《Computational Conformal Geometry》。值得一提的是，本期课程的作业将顺应时代变革——鼓励并在助教指导下利用AI辅助，去亲手实现课上讲授的各种前沿算法。

欢迎有志于探索几何计算魅力的同学们，准时参加，课程的腾讯会议室ID：482-8795-6104。同学们可以通过扫描下方二维码加入课程微信群：

伊斯坦布尔（Istanbul）是世界上唯一一座横跨欧亚两大洲的雄伟都市，被誉为“世界首都”与“万城之城”。它曾作为罗马帝国、拜占庭帝国、拉丁帝国和奥斯曼帝国的首都，承载了逾两千年的辉煌历史。博斯普鲁斯海峡将城市一分为二，西望欧洲，东接亚洲；其北临黑海，南接马尔马拉海并直通地中海。天然良港金角湾（Golden Horn）状如羊角，自古以来便是避风停泊、易守难攻的绝佳港湾。与罗马相似，伊斯坦布尔的老城区亦筑于七座山丘之上，著名的圣索菲亚大教堂与托普卡帕皇宫便高居其上，俯瞰着海峡的潮起潮落。

图：伊斯坦布尔老城区。

伊斯坦布尔的历史是一部不断更迭的史诗。城市始建于公元前667年，初名拜占庭（Byzantium）。公元330年，罗马帝国君士坦丁大帝迁都于此，更名为君士坦丁堡（Constantinople），使其成为东罗马（拜占庭）帝国的核心与基督教世界的中心。公元395年，狄奥多西一世将帝国版图一分为二：西罗马帝国定都米兰，后于公元476年被日耳曼人所灭；东罗马帝国则以君士坦丁堡为都，继续延续千年，直至公元1453年被奥斯曼帝国攻陷。

图：从Saka老人手中购得的奥斯曼装饰艺术瓷砖，左侧Saz风格，右侧宫廷花卉风格。

黄昏时分，笔者泛舟博斯普鲁斯海峡，波光潋滟中倒映着两岸清真寺的巍峨剪影；漫步于独立大街（İstiklal Avenue）的街角，品尝传统的土耳其烤肉；流连在托普卡帕皇宫，小酌一杯醇厚的土耳其咖啡，并在咖啡杯倒扣的泥流走向中体会古老的占卜艺术；置身于世界上最古老的集市——大巴扎（Grand Bazaar），观赏琳琅满目的伊兹尼克陶瓷与土耳其挂毯，再啜饮一口郁金香杯盛装的红茶。其间，偶遇当地一位老人，他自豪地提到其祖先来自发源于中国附近山脉的萨卡（Saka）部落。西突厥被唐朝击败后一路西迁，历经无数次战争与融合，最终落脚于安纳托利亚。尽管老人如今深目隆鼻，但他透露家族中常会出现眼睛细长的东方面孔，并展示了祖父与女儿的照片。他向我悉心介绍土耳其传统纹饰，解释哪些图案演变自中国的莲花，哪些钴蓝色彩是由古老的丝绸之路传递而来。

图：泪滴瓶，16世纪伊兹尼克陶瓷的经典花卉构型，红色康乃馨（右），红色郁金香（中），黄色哈塔伊装饰花（左），来源于中国莲花、牡丹等纹样，经波斯传入奥斯曼帝国，演化成高度程式化宫廷装饰图案。

这座城市在一千多年的时间里，作为地跨欧亚非三大帝国的首都，曾是全球最富庶、最骄傲的焦点。然而，近代随着奥斯曼帝国的土崩瓦解，它亦曾陷入满目疮痍的摇摇欲坠之中。在这里，几乎随处可见以“征服者”（法蒂赫 Fatih）命名的品牌，（例如图中陶瓷艺术品的品牌）但清真寺宣礼塔传来的悠长祷告，以及咖啡馆中乐师演奏的土耳其音乐，却总萦绕着挥之不去的沧桑与感伤。这种历经辉煌过后的平淡、目睹衰落时的坦然，被土耳其诺贝尔文学奖得主奥尔罕·帕慕克（Orhan Pamuk）在其名著《伊斯坦布尔：一座城市的记忆》中定义为“呼愁”（Hüzün）。它用来形容这座城市在帝国废墟上散发的独特美感，不是某种个人的私密情绪，而是一种数十万人共同分担、深入骨髓的集体忧伤。

从君士坦丁堡到伊斯坦布尔，古希腊-罗马基督文明与伊斯兰文明在这里经历了血与火的洗礼，两大文明最终在欧亚十字路口达成了深度的融合与重塑。历史正在技术中重演——目前，崛起的人工智能正以排山倒海之势颠覆着传统的计算机科学，学术界与工业界正共同面临着一场深刻的范式剧变与重组。置身于这场时代的洪流中，整个计算机界似乎也深切地体会到了这种“呼愁”：那是对曾经坚固、确定、优美的传统逻辑范式的告别，也是在面对未知、涌现与混沌的智能未来时的坦然与敬畏。这次伊斯坦布尔之行，使得笔者在这片文明的废墟与新生中，对于这种跨越历史与技术的“呼愁”，有了更深层次的体悟与升华。

在东罗马帝国（拜占庭帝国）延续的千余年历史中，君士坦丁堡因其傲视全球的财富与核心战略价值，沦为欧洲历史上被围攻次数最多的“风暴之眼”。萨珊波斯人、阿拉伯人、罗斯维京人、保加利亚人、塞尔柱突厥人轮番登场，发动了数十次惊心动魄的围城战。然而，由狄奥多西二世主持修建的立体防线——狄奥多西城墙（Theodosian Walls），宛如一把巨大的铁锁，将无数异族蛮族与游牧铁骑死死挡在城外，硬生生为东罗马帝国续命了上千年。讽刺的是，历史上第一次攻破并野蛮洗劫这座基督教圣城的，并非异教徒，而是同为基督徒的西欧军队。

公元1054年，东西方教会在政治、文化与神学上数百年矛盾的总爆发，导致了“东西教会大分裂”，基督教由此劈裂为西方的罗马天主教与东方的东正教。公元1095年，面对塞尔柱突厥的步步蚕食，拜占庭皇帝阿莱克修斯一世不得不放下教派恩怨向西方求援。教皇乌尔班二世振臂一呼，在欧洲封建领主、意大利海权城邦的利益驱使下，开启了长达两百年、先后九次十字军东征的血泪历史。1204年的第四次十字军东征原本号召以埃及为跳板去收复圣地耶路撒冷，但在金钱诱惑与政治阴谋的操纵下，这群高喊着天主之名的西欧骑士彻底走火入魔。他们不仅未与穆斯林交战，反而转身将屠刀和战火引向了同胞，攻陷并洗劫了君士坦丁堡。这场同质文明内部的背叛与重创，让拜占庭帝国元气大伤，再未真正恢复。

伴随奥斯曼帝国的崛起，君士坦丁堡成为了其版图腹地里誓要拔除的孤岛。奥斯曼突厥人曾多次围攻该城，却均在坚固的狄奥多西城墙与奥斯曼内部的动荡面前折戟沉沙。直到公元1453年，这座千年古城遭遇了冷兵器时代与城堡防御的终极终结者——乌尔班重炮（Urban Bombard）。这尊改变历史轨迹的致命武器，最初的设计者竟是一名基督徒——来自匈牙利的火炮工程师乌尔班。他曾带着巨炮图纸向拜占庭末代皇帝君士坦丁十一世投诚；然而此时的拜占庭国库早已洗劫一空，根本无力支付昂贵的研发费用，更无法搜集到铸造巨炮所需的海量青铜。遭到拒绝后的乌尔班转身前往奥斯曼帝国首都，面见了年仅21岁、对征服君士坦丁堡充满执念的年轻苏丹——穆罕默德二世。年轻的苏丹展现出了超越时代的远见，他敏锐地预见到火药和大炮将彻底改变未来的战争模式，于是不仅赐予乌尔班极高规格的薪酬，更调拨全国工匠与物资全力支持。最终，一尊前所未有的“青铜巨兽”在火光中诞生。受限于当时的铸造工艺，乌尔班巨炮存在着致命的阿喀琉斯之踵：由于散热和清理极其困难，每发射一次，都需要用热油反复保养炮管，导致一天只能开火7到8次；且由于内部金属应力极不稳定，随时面临炸膛的危险。但它那能发射半吨重石弹的恐怖威力，成为了当时唯一能够撕裂狄奥多西城墙的降维武器。在长达53天的围城战中，巨炮每次轰鸣都伴随着城墙的成片坍塌。英勇的拜占庭守军一边在夜色掩护下拼死修补缺口，一边咬牙切齿地诅咒着大炮的发明者。战争中段，这尊巨炮果然发生剧烈炸膛，巨大的爆炸将发明者乌尔班本人当场撕碎。然而，乌尔班虽死，他所释放的“热兵器幽灵”却已无法收回。在连续数周的炮火摧残下，号称永不陷落的狄奥多西城墙最终被轰出了无法挽回的废墟缺口。5月29日，奥斯曼军队如潮水般顺着缺口涌入城市，拜占庭至此沦陷，君士坦丁十一世脱下紫色皇袍，以身殉国。乌尔班巨炮以其决绝的轰鸣，彻底轰碎了中世纪城堡防御的旧范式，拉开了热兵器时代的帷幕。

当伊斯兰文明接管这座千古名城时，并未将原有的古希腊-罗马基督文明“连根拔起”后盲目取代，而是在精心保留其历史底色的基础上，展开了一场宏大的“重写”与“升级”。自此，拜占庭的基督艺术与奥斯曼的伊斯兰艺术，在相互凝视中经历了一场长达数百年的吸收、借用、重塑与共生。高居伊斯坦布尔老城核心区的圣索菲亚大教堂（Hagia Sophia / Ayasofya），便是这场文明交响最雄辩的见证者。在长达近一千五百载的漫长岁月里，它冷眼凭吊着帝国更迭，无声承受着宗教易主，默默接纳着身份转换。风雨沧桑中，它将黄金马赛克的圣像与黑金色的阿拉伯书法合纳于同一个穹顶之下，退化为人类文明十字路口上最绚丽、最具象的图腾缩影。

穹顶

图：“索菲亚”教堂的金色穹顶。

“圣索菲亚”（Hagia Sophia）在希腊语中意为“神圣的智慧”。公元532年，东罗马帝国皇帝查士丁尼大帝（Justinian I）并未起用传统的工匠，而是打破常规地雇用了两位数学家与物理学家——米利都的伊西多尔（Isidore of Miletus）与特拉勒斯的安提米乌斯（Anthemius of Tralles），共同编织了建筑史上跨越千年的几何神话。大殿正中央，凌空漂浮着一个巨大的黄金穹顶。两位学者运用天才的结构几何学，首次引入了巧妙的“帆拱”（Pendentives）过渡面，将圆形穹顶受到的巨大重力，完美而均匀地发散并导向地面的四根巨型方柱之上，实现了三维空间力学的绝妙平衡。穹顶底部紧密围合着40扇采光连拱窗。每当阳光破窗而入，万道金光在内部铺天盖地的黄金马赛克壁画间激荡折射，在视觉上营造出一种神圣的错觉——那座巍峨的巨型穹顶仿佛完全摆脱了重力的束缚，正如古人所赞叹的那般，“宛如被一条无形的金链悬挂于半空，在浩瀚的光影里凌空漂浮”。在随后的近千年（537—1453年）岁月里，它始终作为东罗马帝国的国教大本营，充当着东正教世界至高无上的精神灯塔，见证了历代拜占庭皇帝的加冕冠冕。直至公元1453年，奥斯曼苏丹穆罕默德二世攻陷君士坦丁堡。这位年轻的征服者并未纵火毁灭这座几何与艺术的巅峰之作，而是直接策马来到巍峨的教堂前，由衷地发出赞叹，并当场宣布将其改建为阿亚索菲亚清真寺。

图：索菲亚教堂的拜占庭时期基督教圣母子马赛克壁画与奥斯曼时期写有真主与先知圣名的阿拉伯书法。

变奏

基督教与伊斯兰教在“如何表达神圣”这一终极美学命题上，各执截然相反的哲学。拜占庭的艺术耽于具象叙事，奥斯曼的美学则侧重抽象转换。拜占庭艺术的灵魂，深藏于那些金碧辉煌的马赛克壁画之中。匠人们用无数带有微小倾角的金箔玻璃贴片，在古老的墙壁上拼贴出耶稣、圣母、圣徒与皇帝的具象面容。每当夜幕降临、烛光摇曳，这些微小的几何贴片便仿佛在幽暗中泛起缥缈而灵动的神光，以极具视觉冲击力的具象画面，直观地向目不识丁的信徒宣讲着宏大的圣经故事。然而，伊斯兰教严格禁止偶像崇拜，转而将对神圣的膜拜诉诸于纯粹的几何与线条。奥斯曼人接管大教堂后，用柔和的石灰与泥膏将这些具象的圣人壁画层层覆盖。取而代之的，是龙飞凤舞、极具动感与韵律美的阿拉伯书法（Calligraphy）。他们不再借用凡人的面孔来描摹上苍，而是用线条的流动与抽象的几何对称，去编织真主那不可言说的无限与伟大。正是这种克制，造就了今日圣索菲亚大教堂内最震撼人心的奇妙景观：大殿的一侧，是刮开重重石灰后重见天日、依然散发着中世纪璀璨微光的基督教圣母子像；而紧邻其侧的，则是奥斯曼时期悬挂的、写有真主与先知圣名的巨大黑金木质字盘。两种截然相反的神圣美学、两套完全对立的表达范式，竟在同一面斑驳的墙壁上达成了跨越时空的惊艳和解。

图：蓝色清真寺内部穹顶结构，非常类似带边界双曲3-流形。

错织

在奥斯曼人征服这片土地之前，伊斯兰世界的清真寺大多因循“多柱式”的传统范式（如西班牙科尔多瓦大清真寺），依赖密集的立柱托起平坦的屋顶。然而，自1453年苏丹穆罕默德二世步入圣索菲亚大教堂、被其高耸入云的巨型圆穹深深震撼之后，这一空间的几何范式被彻底颠覆。此后的奥斯曼皇家建筑师们——以传奇天才科查·米马尔·锡南（Mimar Sinan）为集大成者，均将圣索菲亚大教堂视作不可逾越的终极蓝本。他们非但没有排斥拜占庭的穹顶设计，反而将其全盘吸收，并在此基础上进行了更严苛的数学与工程学改良。通过精妙的次级半穹顶分压系统，他们成功消除了拜占庭原有建筑内部因厚重承重墙带来的压抑与幽暗，最终缔造出空间更为开阔、光线更具神圣通透感的奥斯曼清真寺群（如苏莱曼尼耶清真寺与蓝色清真寺）。

图：托普卡帕皇宫中伊兹尼克红蓝釉面瓷砖，郁金香，康乃馨，风信子，百合花等真实花卉，Hatayi装饰花，卷草等抽象植物，Girih伊斯兰几何。

在这种空间的升级中，奥斯曼人展现出了极其精明的工艺兼容性。拜占庭匠人名震天下、利用帝国各地有色大理石进行拼贴的绝技，被完美承袭于托普卡帕宫等皇家建筑的营造之中，甚至许多残存的精美古罗马科林斯石柱亦被直接回收到新建筑的骨架里。为了填补抹去圣人壁画后的视觉留白，奥斯曼人顺势融入了其本土工艺的巅峰——伊兹尼克（İznik）红蓝釉面瓷砖。在蓝色清真寺内部，两万余块纯手工绘制的瓷砖如藤蔓般蔓延，拼贴出郁金香、百合与生命之树等抽象的伊斯兰天堂意象。这些细腻的二维几何图案，与原有的拜占庭式三维空间穹顶严丝合缝地契合在一起，编织出一个如梦如幻的蔚蓝世界。

图：蓝色清真寺的穹顶与宣礼塔。

这种文明的交融与重塑，最终凝固成今日伊斯坦布尔那起伏跌宕、绝无仅有的城市天际线。原本的君士坦丁堡，是一座由无数圆润的半球形穹顶与低矮连拱窗错落而成的城市，线条温婉而柔和。而奥斯曼人在接管这些穹顶建筑后，于其外围拔地而起地筑起了数座直插云霄的宣礼塔（Minarets）。宣礼塔的“刚直与挺拔”，与拜占庭式旧穹顶的“圆融与厚重”，在长空中形成了极强的戏剧性对白。在这条人类文明最雄伟的天际线下，隐藏着两种数学哲学的最高较量：拜占庭艺术偏爱用连续的拱、解析曲面与完美的圆形去规范天堂的宏伟；而穆斯林艺术则将极度复杂的非周期性几何拓扑图案（如吉里赫几何拼贴 Girih tiles）与三维钟乳石拱顶（Muqarnas），在有限的空间内发挥到了人类手工时代的离散几何极限。

图：蓝色清真寺的三维钟乳石拱顶。

乌尔班重炮轰塌了千年的狄奥多西城墙，彻底改变了战争的范式，而科技学者的终极使命就是终身追寻能够改变各自领域研究范式的乌尔班重炮。在丘先生创立几何分析学派之前，几何的研究手段主要是用群论表达流形对称的代数方法，无法精细刻画流形的细节。几何分析引入微分方程来描述几何张量，应用微分方程的理论来构造各种几何结构，并且证明解的存在性、唯一性，适定性等，是极为强有力的方法，彻底改变了几何、拓扑领域的研究范式。例如，历史上为了证明庞加莱猜想，数代数学家们苦心孤诣、前仆后继。早期拓扑学家们专注于代数拓扑方法、离散组合方法、微分拓扑方法，都无法撼动这一艰深问题。后来，瑟斯顿提出流形的拓扑由其几何所控制，所有的3-流形都可以沿着本质球面和环面切开，分解成所谓的素3-流形，他猜想素3-流形可以配备八种标准几何中的一种（即几何化猜想）。瑟斯顿的研究手法是将3-流形进行组合上的胞腔分解，每个胞腔配上标准的黎曼度量，然后再将这些带度量的胞腔等距黏合在一起。丘先生则认为不必进行组合分解，直接用偏微分方程来描述整体的黎曼度量，通过证明微分方程解的存在性来证明。历史的发展恰是验证了丘先生提出的方向，哈密尔顿里奇流理论的建立与发展实现了丘先生提出的纲领，最终证明了庞加莱猜想与瑟斯顿猜想。哈密尔顿里奇流就是乌尔班重炮，轰开了庞加莱猜想这一狄奥多西城墙。

几何建模领域中有一些长期悬而未决的基础问题，犹如狄奥多西城墙一般阻碍着领域的发展，为CAD/CAE工业带来巨大的困难。笔者团队引入现代几何中的理论和方法，犹如乌尔班重炮，轰开这些狄奥多西城墙。在计算机辅助设计领域（CAD）领域，曲面大多用所谓的NURBS样条来表示，一个基本的问题在于：为什么无法用样条曲面来表达一般封闭曲面，而必须保留几个奇异点（即无法用样条自然表达的点）？由样条曲面得deBoor算法，我们可以看出样条曲面是基于仿射不变量的，即给定样条曲面，如果我们对参数进行仿射变换，,

那么仍然是样条曲面，如果控制点相同，则作为点集，两个样条曲面重合。给定封闭曲面，如果我们能够找到曲面的一个图册，这里开集族覆盖整个曲面，是一个局部坐标卡，是开集的局部坐标。如果两个局部坐标卡交集非空，，则交集中的点具有两个局部坐标和，两个局部坐标之间的变换为：

我们说是仿射图册，如果所有的坐标变换都是仿射变换。如果曲面存在一个仿射图册，那么我们在上可以定义仿射几何不变量，从而可以整体定义样条曲面。因此问题归结为上是否存在仿射图册。假设上存在一个仿射图册，我们构造一个仿射联络，在局部坐标下其分量通常写为克里斯托菲尔符号；在局部坐标下其分量为，仿射联络的分量变换公式为：

如果局部坐标变换是仿射变换，那么为零。如果，那么，我们可以整体定义仿射联络。我们在一点处给定一个切向量，可以通过平行移动唯一地将其延展到整个封闭曲面上，而不产生任何路径依赖。庞加莱-霍普夫定理指出，如果一个紧致可定向流形上存在一个处处不为零的向量场，那么这个流形的欧拉示性数  必然为 ，即曲面亏格为。其他亏格的封闭曲面不存在仿射图册。

下一个理论问题自然是样条曲面奇异点最少的个数，答案是一个。这里的乌尔班重炮依然是里奇流理论。根据里奇流理论，给定曲面带有初始黎曼度量，我们可以将曲面的所有曲率集中到一点，其他各点处曲率为零，这样的黎曼度量存在。那么将曲面沿此点刺穿，所得开曲面上的平直度量诱导一个仿射图册，可以实现样条曲面。

样条曲面的质量强烈依赖于其奇异点的分布。长期以来，奇异点的设置都依赖于有经验的工程师的手工输入。这归结为如下的基本问题：基于张量积的样条曲面，其奇异点是否存在某个控制方程，方程的解法如何？这个问题的简单提法如下：一个曲面上的一个四边形网格，如果只有两个拓扑度不等于4的奇异点，一个度为，另外一个度为, 那么这个四边形网格被称为是四边形网格。为什么拓扑轮胎曲面上不存在四边形网格剖分（但却存在只有两个奇异点的标价场）？我们证明四边形网格剖分诱导一个亚纯四次微分，其奇异点满足特定的代数几何方程，即Abel-Jacobi方程，这归结为黎曼面上全纯线丛的示性类理论。

类似的理论问题很多，例如奇异点满足特定条件的四边形网格有多少个？例如所有奇异点的度都大于，所有这种四边形网格构成一个线性空间，空间的维数等于，这里是曲面的亏格。这归结为著名的黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch），而黎曼-罗赫空间的基底构造归结求解特定的椭圆型偏微分方程。

图：伊兹尼克花纹装饰的卡夫坦陶瓷艺术品，蔓藤的轨迹。

卡夫坦（Kaftan）是奥斯曼帝国最具代表性的服饰之一。苏丹会把华丽的卡夫坦赐给大臣、外国使节或者有功将领，因此卡夫坦成为一种身份象征。土耳其陶瓷艺术家经常把卡夫坦作为雕塑主题，用传统的伊兹尼克（iznik）花纹装饰整个衣身。图中的作品几乎覆盖了整个衣身的植物纹样包括郁金香、风信子、康乃馨与卷草纹，这些都是16世纪奥斯曼宫廷艺术最经典的装饰元素。这里的卷草纹给出了曲面上Abel微分的有限轨迹。

图：希腊女神宁芙雕像上Abel微分的水平与铅直轨迹。

伊斯坦布尔考古博物馆保存了大量的古希腊和古罗马大理石雕像。令人深感遗憾的是，几乎所有雕像的鼻子都大面积缺失或损坏。在公元4世纪至6世纪基督教被确立为国教后，希腊、罗马传统的神话雕像被视为“异教偶像”，早期的基督徒和僧侣会对这些雕像进行系统性地除魔仪式。他们通常会敲掉鼻子、挖掉眼睛，有的甚至会在异教神明（如阿芙洛狄忒或阿波罗）的额头上刻上十字架，以此宣告基督教对异教的胜利。笔者看到希腊神话中的女神，“自然精灵”宁芙（Nymph）。图中，我们计算了宁芙上的Abel微分，通过在Teichmuller空间中形变，Abel微分的水平和铅直轨迹都是封闭曲线，如此得到曲面的一个自然的四边形剖分。

当前，AI辅助编程已大规模重塑传统的软件开发模式，正促使软件工业发生深刻的范式转变。在几何计算软件的研发实践中，这一趋势尤为显著。

传统软件工程中，“算法设计”与“工程实现”各司其职，前者由研究人员主导，后者由工程师落地。如今，生成式AI已能高效接管大部分代码实现工作，却依然难以企及核心的算法设计。对于成熟且通用的算法，AI虽能自主构建；但面对深奥的专业领域（如涉及前沿代数拓扑或微分几何的算法），AI仍高度依赖人类的深度理论输入。此外，现阶段AI尚无法通过视觉渲染（如3D曲面效果）直观评估算法的正确性，依然需要人类专家的闭环反馈与定性评估。

这种技术现状导致了计算机编程红利的重新分配：工程编码的门槛大幅降低，而对理论理解的深度要求却前所未有地提高。 值得注意的是，大语言模型具备强大的泛化与记忆能力，人类赋予其任何新算法，都有可能被其内化吸收，这必将导致软件知识产权（IP）保护的矛盾日益尖锐。

基于此，未来的计算机科学教育必将重构——数学理论训练的权重将显著提升，而单纯工程编码技巧的训练则会逐步收缩。 相应地，软件工业的人才结构也将发生洗牌：市场对高阶算法设计人才的需求将更加迫切，而常规的代码实现岗位将大幅缩减。同时，随着底层代码生成的大杂烩化，未来的软件维护与架构Debug也将迎来更严峻的挑战。

相信未来，计算机科学会更加密切地与应用数学相结合，AI会进一步融合、继承与转换传统计算机科学。在范式的转变中，整个计算机工业将会浴火重生！