几何分析50周年大会侧记

2026年5月11日至17日，北京的天气宛如初夏，绿树葱茏，百花争妍。恰逢特朗普总统访华，高速公路绿化带上各种月季竞相绽放，错落有致，绚烂夺目。丘成桐先生在清华大学主持召开了《几何分析50周年大会》。来自世界各国的知名数学家欢聚一堂，共同回顾几何分析的发展历程，交流近期突破，探讨未来发展方向。

笔者亦应邀回到清华园参加盛会，汇报了与丘先生共同发展起来的计算最优传输理论和方法，以及利用蒙日-安培方程的正则性理论解释生成模型中幻觉现象的最新进展。受时差所累，笔者每日清晨在园中徜徉。工字厅芳草满地，绿树葳蕤；水木清华荷塘静谧，微澜不惊；新图书馆的墙壁上铺满常青藤，松柏苍翠，槐花幽香。馆内正举办赵元任先生的学术生平展览，亦有文艺社团在排演莎士比亚名剧。毗邻清华学堂的同方部东侧，一座半地下讲堂已近竣工，其建筑风格现代洗练，宏伟而内敛。讲堂周围如今已成玫瑰园，鲜花怒放，明媚绚烂。

大会伊始，丘先生作了首场报告，题目为《现代几何分析简史与赏析》（Brief History of Modern Geometric Analysis and Its Appreciation），全面总结了过去半个世纪该领域的发展历程。笔者自1995年开始追随丘先生，亲身经历了报告中所提到的许多历史事件，且自身的学术研究也一直围绕其中涉及的核心定理展开。因此，这场报告令笔者心潮澎湃，感触极深。

丘先生的报告字字珠玑、微言大义；看似轻描淡写的每一句话，背后其实都沉淀着一段波澜壮阔的数学史，凝聚着无数数学家的毕生心血。

丘先生开场道：“截至20世纪70年代初，几何学领域的绝大多数研究要么基于对称性的考量，要么依赖于线性偏微分方程。这其中包括霍奇理论、示性类理论、希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式、小平消灭定理与嵌入定理，以及阿蒂亚-辛格指标定理。它们皆是数学皇冠上的明珠。”

丘先生话锋一转：“然而，几何学的主要目标始终在于深刻理解几何结构，以及由这些结构所定义的几何对象。它们在本质上是线性的反面——即具有内在的非线性，其定义方程本质上也是非线性的。对几何结构的深刻洞察，必须建立在我们能够构建此类结构的方法之上。因此，在20世纪70年代，我们将目光投向了非线性方程。而在理解非线性微分方程的过程中，又必须以对线性分析的深刻理解为基石，这需要从对拉普拉斯算子、热传导算子和波动算子解的精确估计开始。”随后，丘先生谈及他与合作者们筚路蓝缕、独辟蹊径，发明了一系列经天纬地的几何分析方法，一举攻克了微分几何、代数几何及低维拓扑领域的诸多旷世猜想，铸就了几何分析学科不朽之基业。

下面，笔者将简述丘先生报告中提及的、笔者曾亲身经历且与自身研究直接相关的几项核心定理。

笔者虽然身为70后，但是在童年和少年时期根本没有机会接触现代几何分析理论，直至95年到哈佛求学期间，才在丘先生的指导下开始认真学习这些理论。2000年左右，笔者的博士论文就是将Hodge理论推广到计算机科学，与丘先生共同发明了Hodge分解算法。直观而言，Hodge理论就是说黎曼流形的每一个上同调类中都存在唯一的调和微分形式，满足Laplace-Beltrami方程。任何一个微分形式可以被唯一地分解为3个分量：恰当形式，余恰当形式与调和形式：

理论上，我们的Hodge分解方法将有限元方法从欧氏空间区域推广到离散黎曼流形，同时将有限元方法推广到外微分，从计算函数推广到计算张量。应用上，Hodge分解方法可以直接计算流形上的调和微分形式，例如可以构造曲面上的各种阿贝尔微分（Abel differential），而Abel微分是计算曲面共形结构和共形变换的基石。

图1. 曲面上的Abel微分。

如图1所示，我们构造了亏格为一的小猫曲面上相互共轭的两个调和微分形式（红色与蓝色的曲线是它们对应的轨道），它们构成了一个Abel微分（全纯微分）。

图2. 人脸曲面的黎曼映照。

如图2所示，给定一张人脸曲面，我们在其中心打一个小洞，将其变成一个拓扑环带，然后计算全纯微分，积分之后得到从人脸曲面到单位圆盘的黎曼映照。类似方法，我们可以构造一大类曲面间的共形映射，本质上都是在曲面上求解线性椭圆型偏微分方程。所谓带黎曼度量曲面间的共形映射，就是保角映射，满足条件

黎曼-罗赫定理可以被视为是黎曼面上全纯线丛的示性类理论，也可以被视为是满足特定零极点的亚纯函数空间的理论，

这里是一个除子，典范除子，曲面亏格。近期，我们与丘先生应用Hodge分解方法构造不同类型的Abel微分，从而构造黎曼-罗赫空间的基底，给出了黎曼-罗赫定理的数值解法。

图3. 基于黎曼-罗赫算法得到的亏格为2曲面上的亚纯函数。

图3显示了亏格为2的曲面上的一个亚纯函数。在CAD/CAE领域，黎曼-罗赫空间是结构化网格生成算法的关键。

1978年，William Meeks和丘先生证明了Meeks-Yau 嵌入定理为经典普拉托问题（Plateau problem）的解何时能成为一个完美光滑、无自交的嵌入式表面，提供了决定性的判别标准。一个紧3维流形其边界具有非负平均曲率，如果是 上一组不相交的简单闭曲线，且在 内部围成一个连续的圆盘，那么追踪 的面积最小化圆盘是光滑嵌入的，并且不会与自身或边界发生接触（除了 本身）。来自Cornell大学的周新教授在大会上作报告，汇报这个方向的新进观点和发展。极小曲面可以通过平均曲率流得到： 令是曲面的光滑嵌入，一族嵌入满足平均曲率流，如果

这里是依赖于时间的位置向量，是曲面外向的单位法向量，是平均曲率。在工程实践中，Meeks-Yau嵌入定理是将3维实体进行剖分的得力工具。很多时候，我们需要计算3-流形内部的曲面族，使得它们之间的相交模式尽量简单，从而得到胞腔分解，这时候我们往往求取极小曲面。

在1970年代，继Jonathan Sacks和Karen Uhlenbeck零亏格极小曲面的工作之后，丘先生和其学生Richard Schoen证明了高亏格极小曲面的存在性和奇异点理论，以此为工具证明了广义相对论中的正质量猜想，从而证明了宇宙的稳定性。随后，1984年，Schoen应用正质量定理证明了著名的山边猜想（Yamabe 问题）：即任意紧黎曼流形都可以共形变换成常标量曲率流形。在二维情形，给定带度量曲面，和目标高斯曲率，Yamabe方程为

这里是共形因子，目标黎曼度量为，诱导的高斯曲率为，初始度量诱导的高斯曲率为。大量的工程和医学图像问题本质上都归结为寻找一个合适的黎曼度量，很多情形下这个黎曼度量需要满足特定的目标曲率，即等价于求解Yamabe方程。丘先生与Schoen的正质量定理保证了Yamabe方程解的存在性与唯一性，从而为解决这类工程问题带来曙光。但是，Yamabe方程中的未知函数出现在指数上，因而是强烈非线性，传统的有限元方法无法直接求解。数值求解Yamabe方程一直是工程领域的核心难题之一。这个问题的最终解决需要用到几何分析的又一个核心突破：里奇流。这次大会，Schoen教授介绍了3周期极小曲面理论的新进展。

1978年，Thurston声称他可以为Haken三维流形赋予双曲结构，但是在很长时间内他一直没有发表他的证明。因此，3-流形的几何分类必须依赖几何分析的核心方法之一：Hamilton发明的里奇流。依随里奇流的兴起，很多数学家都为椭圆型偏微分方程加上时间项，将其转化为抛物流。丘先生与Peter Li在1986年发明了非常有效的方法给出抛物流的精确估计。Hamilton将其应用到里奇流的理论之中，并与丘先生的学生们研究分析里奇流中奇异点的爆破和拓扑手术。2002年，Grigori Perelman改进了Li-Yau-Hamilton不等式，通过引进缩减长度和体积的概念来控制奇异点的演化。通过极其错综复杂的推导，Perelman最终实现了哈密尔顿与丘先生所预期的‘手术’，完成了庞加莱猜想的证明。然而令人遗憾的是，他的论文从未正式发表，书中的诸多细节对于普通读者而言亦极难补全。

Hamilton的里奇流正是求解Yamabe方程的利器，二维曲面的里奇流为

对于亏格大于等于1的情形，里奇流不会出现奇异点。笔者和合作者们将曲面里奇流理论推广到离散情形，并且建立了变分原理。大会上，林勇教授介绍了图上里奇流理论的新进展，他们证明了基于图上Oliver曲率里奇流的解的存在性和唯一性。

图5. 由曲面里奇流得到的单值化定理。

图5显示了用曲面离散里奇流方法计算的离散曲面单值化定理：所有紧、带度量的曲面都可以共形变形到常曲面曲面，即Yamabe定理的二维情形。在工程中，曲面里奇流给出了用曲率来构造黎曼度量的普适算法，与Riemann-Roch算法相结合，在CAD/CAE领域中起到了关键作用。

图6显示了用这种方法构造的汽车白体的整体水密的NURBS，用于等几何分析的力学模拟仿真。

通过应用曲面里奇流与单值化定理，我们可以将曲面共形地映射至常曲率空间的标准区域上，从而将曲面的黎曼度量转化为共形因子来表征。这一框架使我们能够在标准区域上对不同的曲面进行直接比对，并直指经典的波内（Bonnet）问题：即三维欧氏空间中的紧曲面是否由其黎曼度量和平均曲率唯一确定？在一般情形或零亏格曲面下，这一结论均成立。然而，在本次大会上，来自德国柏林的Bobenko教授展示了一个针对1亏格浸入曲面的反例。Bobenko教授团队长期深耕离散微分几何领域，该突破性成果充分彰显了离散方法对推动经典微分几何研究的巨大助益。会议期间，笔者得到一个喜讯：多年前，笔者与学生曾薇教授曾经写了一本专著《形状分析与曲面配准的Ricci流：理论、算法和应用》，最近被崔丽教授与丁梦琦博士翻译成汉语，由北京航空航天大学出版社出版。这次大会，曹怀东教授介绍了4为里奇流曲率爆破理论的新进展。

丘先生与Schoen、Uhlenbeck共同建立了调和映照理论，在工程上极具价值。当我们希望建立曲面间的映射（曲面配准问题），我们往往要求映射是微分同胚，整体光滑，没有折叠，没有奇异点，jacobian处处为正，这时候调和映射往往成为首选。给定带度量的曲面和，我们采用等温坐标

映射的调和能量为

调和能量的临界点被称为是调和映射，满足方程：

丘先生证明了如果目标曲面高斯曲率为负，则度为1的调和映射必为微分同胚。很多曲面配准算法都是基于调和映照理论。

图7.基于球面调和映照的共形脑图。

图7显示了医学图像领域中的共形脑图应用，为了进行神经疾病的诊断，我们需要将大脑皮层映射到单位球面，这个映射就是调和映射。Schoen将丘先生的定理推广到广义黎曼流形，即带度量的图（graph），因为图的广义曲率为负，因此Schoen证明了解的存在性和唯一性，并且证明远离奇异点处映射的正则性。笔者团队应用图值-调和映射理论计算曲面和3-流形的叶状结构。

图8. 基于图值调和映射的曲面叶状结构。

如图8所示，曲面被映射到某个图，通过优化调和能量，我们得到调和映射。图中正常点的原像是简单闭曲线，如此曲面被分解成局部平行的曲线族，即叶状结构。应用调和映射，我们也可以构造曲面间的Teichmuller映射。

在凸微分几何领域，经典的闵可夫斯基（Minkowski）问题旨在通过高斯曲率来重构凸曲面的几何形状。丘先生与郑绍远教授通过求解实蒙日-安培（Monge-Ampère）方程，完美证明了高维闵可夫斯基问题解的存在性、唯一性与正则性。

图9. Minkowski问题：由高斯曲率来重构凸曲面。

这一经典几何问题与最优传输（Optimal Transport）理论存在着深刻的内在联系。最优传输旨在寻求将一个概率分布变换为另一个概率分布的最优运输策略，其数学本质亦归结为蒙日-安培方程：给定源概率分布  与目标概率分布 ，最优传输映射  在将  推前（Push-forward）为  的同时，极小化总传输代价：

根据布雷尼尔（Brenier）定理，存在一个凸函数 （即Brenier势能函数），其梯度映射恰好给出了最优传输映射 。该凸函数满足带自然边界条件  的蒙日-安培方程：

在丘先生的悉心指导下，笔者团队发展了基于几何变分的方法来高效求解该方程（图10展示了以此方法算得的Brenier势能函数及最优传输映射）。

图10. 基于几何变分法的最优传输映射。

该方法不仅能完美应用于曲面间的保面积映射，更为关键的是，它为AI生成模型（Generative Models）注入了全新的几何洞察。生成模型的核心步骤，在于计算数据分布与高斯分布之间的传输映射。然而，根据蒙日-安培方程的正则性理论，若目标测度的支撑集  非凸，最优传输映射必将产生奇异集（Singular Set），导致映射  在该集合上发生间断。

图11. 最优传输映射的奇异集合。

由于深度神经网络在本质上只能逼近连续变换，这种数学上的非连续性便不可避免地引发了生成模型中的‘幻觉’（Hallucination）现象。为此，丘先生与笔者团队联合提出了AE-OT生成模型，从几何根源上提供了规避幻觉生成的理论利器，展现出广阔的应用前景与深远的变革潜力。大会上，来自多伦多大学的童丞昱教授介绍了蒙日-安培方程正则性理论的新进展。

师兄John Loftin建立在丘先生和仿射微分几何学家的早期理论之上，完美地回答了如何用分析和代数几何工具去精确刻画紧凑曲面上的凸实射影结构（Convex Real Projective Structures）。他证明在任意一个固定的紧黎曼曲面 ()上，以下三个集合之间存在自然的一一对应，全纯三次微分，（复维数为)，仿射球蒙日-安培方程的唯一光滑解 ,

上与该复结构相容的凸实射影结构的模空间（Moduli Space）。拓扑学家William Goldman曾证明，曲面上的凸实射影结构的模空间拓扑上是一个等价于 的胞腔。Loftin的定理将这个纯拓扑的模空间，巧妙地分解为了泰希米勒空间（Teichmüller Space，维度为 ）和全纯三阶微分空间（维度为 ）的直积。这为该模空间提供了一个优美的复解析几何参数化。Loftin的理论指明结合黎曼-罗赫算法与蒙日-安培方程，我们能够计算曲面的所有实射影结构。

1976年，丘成桐解决了卡拉比猜想，为众多凯勒流形赋予了凯勒-爱因斯坦度量，从而为代数流形的研究增添了一项核心工具。卡拉比猜想要求在第一陈类为平庸的凯勒流形中，每个凯勒类内都存在一个无奇点的里奇平坦度量。这最终归结为复的蒙日-安培方程：

在超弦理论中，卡拉比-丘流形具有不可替代的基石地位。在超弦理论中，时空被设定为10维。为了契合日常的4维宏观经验，其余6个额外的空间维度必须‘紧化’，即在每个时空点上卷缩成微观的几何形状。在所有可能的流形中，卡拉比-丘流形是唯一既能承载这些额外维度，又能完美兼容量子力学与相对论严格数学自洽性的几何框架。其核心关键在于：真空爱因斯坦场方程的完美解：它们构成了真空里奇平坦（Ricci-flat）度量的存在性实证，直接契合了无物质源状态下的引力场方程。超对称性（SUSY）的完美保留：超弦理论高度依赖超对称性来平衡费米子（物质粒子）与玻色子（媒介粒子），而卡拉比-丘流形的特殊和乐群（Holonomy Group）恰好能完好保留这种对称性。宏观宇宙物理规律的决定者：所选定的卡拉比-丘流形之具体拓扑结构与几何形态，直接决定了宏观4维宇宙中观测到的物理常数、粒子世代数以及基本相互作用力的性质。镜像对称性与量子几何的催化剂：卡拉比-丘流形孕育了现代物理学中最伟大的对偶性之一——镜像对称性（Mirror Symmetry）。物理学家惊奇地发现，两个拓扑结构截然不同的卡拉比-丘流形（流形  与其镜像流形 ），其上运动的弦在物理效应上竟然完全等价。这种深刻的对偶性，允许学者将流形  上近乎不可解的量子力学微扰计算，转化为流形 B上纯粹且易行很多的经典代数几何问题，从而惊人地推动了代数几何（特别是枚举几何中的格罗莫夫-威滕不变量计算）的突破性进展。

丘先生总结道：“五十多年来，几何学与几何分析始终交融相依、密不可分。几何分析、数学物理、代数几何以及非线性偏微分方程更是一直相互滋养、交相辉映。”

丘先生也提出了很多未来发展方向：“卡拉比-丘流形是椭圆曲线最自然的高维推广，而许多源自超弦理论的函数也与自守形式密切相关。我由衷希望，在21世纪，几何学与数论之间的纽带能够迎来重大的飞跃与突破。”

由丘先生举办的历届几何盛会，皆是一场思想上的饕餮盛宴。置身其间，笔者不仅得以领略诸多前沿理论的突破，更在与世界级几何学家的切磋交流中实现思想的蜕变与升华。而每一次的拨云见日，都为笔者指明了下一步研究的破局方向，令人无不振奋、备受鼓舞。

大会期间，笔者经与多方交流得知，几何分析课程已在各大高校的研究生院广泛讲授，计算共形几何课程也在一些学校的应用数学方向悄然兴起。在AI技术迅猛发展的当下，几何分析的理论研习不再高不可攀，其衍生的算法复现也更加便捷。这一前沿学科必将日益被年轻一代学子所吸收，其衍生算法亦将被广大工程师所掌握，从而切实推动理论与实践的融合发展。可以预见，几何分析学派必将日益昌盛，薪火相传，历久弥新！