计算共形几何讲义：纤维丛和陈类

【2019年五月18号，下午1:30-4:30pm于清华大学，数学系理科楼112教室授课。以后每周六下午1:30-4:30pm，于清华大学，近春园西楼3楼报告厅授课。敬请前来指导，共同探讨。】

纤维丛和陈省身示性类在物理和工程应用方面日益起到了重要作用。陈类的内容优美而深奥，对于初学者在缺乏物理直观的情况下，难以掌握。黎曼面上的全纯线丛相对简洁直观，容易理解计算。

直观而言，我们为曲面的每一点定义一个纤维，纤维丛局部具有直积结构，但整体发生扭曲。整体的扭曲非常难以描述和计算，陈省身先生通过为纤维丛配备一个度量，从而得到曲率形式，用曲率来描述纤维丛的整体扭曲，即为陈类。

下面，我们给出这一理论框架的概述，并且给出目前可以计算的概念和定理。

给定一张拓扑曲面，具有开覆盖，对每个开集存在映射，满足是开集，是同胚，则构成局部坐标卡，局部坐标记为；如果，那么转换映射为复平面开集之间的全纯映射，则称为黎曼面。

图1. 黎曼面概念。

给定两张黎曼面之间的连续映射，取两个局部坐标卡，和，如果映射的局部表示

是全纯映射，则是黎曼面和之间的全纯映射。如果逆映射存在并且也是全纯映射，则黎曼面和全纯同构，为双全纯映射。

  图2. 单值化定理。

著名的单值化定理断言：任意单连通的黎曼面都和三种标准空间中的一种全纯同构：球面，复平面，单位开圆盘。

设为黎曼面，上满足的全纯映射称为上的亚纯函数，当时，称为的极点；当时，称为的零点。

黎曼面上亚纯函数的全体在通常的加法、数乘运算下构成一个域，它是复数域的扩张，称为亚纯函数域。上所有的亚纯函数记为。给定一个亚纯函数，对于一切，取点附近的坐标函数并且，在附近具有Laurent展开

,

称为在处的赋值，记为。当为负值，则为的极点，当为正值，则为的零点。

黎曼面上的微分形式被称为是全纯（亚纯）微分，如果系数为全纯（亚纯）函数，当坐标变换时，这里

。

上所有的全纯微分构成复向量空间记为，亚纯微分构成的复向量空间记为。

图3. 黎曼面上的全纯微分，及其上的零点。

黎曼面上的微分形式被称为是全纯二次微分，如果系数为全纯函数，当坐标变换时，

。

图4. 黎曼面上的全纯二次微分。

黎曼面上的亚纯函数和亚纯微分非常丰富，亚纯函数域完整地刻画了黎曼面。为了表达一个亚纯函数或亚纯微分，我们只需要给出它们的零极点的位置和赋值，这由所谓的因子来表达。

黎曼面到整数的映射，，如果除了有限个点之外，均有，则称为上的一个因子。上的全体因子集合记为，引入加法运算，

,

则构成一个交换群，称为因子群。被称为是因子的次数。

设是黎曼面上的亚纯函数，决定了一个因子，记为，定义如下，。亚纯函数所诱导的因子被称为是主要因子，所有的主要因子成群，。两个因子被称为彼此线性等价，当且仅当它们相差一个主要因子。所有的因子等价类成群，即商群，被称为是因子类群。

那么如何判断一个因子是否为主要因子呢？这个问题可以由Abel-Jacobi定理来解答。

图5. 曲面典则同伦群基底，和基本域。

如图5所示，由曲面代数拓扑理论，对于亏格为的封闭曲面，存在典则同伦群基底，曲面沿着典则基底切开后得到一个基本域，其边界为。存在对偶的典则全纯微分基底，，满足对偶条件。Abel定理断言：给定一个因子，如果为主要因子，当且仅当

,

这里积分路径在基本域中任选。

给定因子，定义亚纯函数构成的有限维复向量空间：

，

类似定义亚纯微分构成的有限维复向量空间：

，

著名的黎曼-罗赫定理断言：

。

应用黎曼-罗赫定理在黎曼面理论中具有中心的位置，我们可以证明满足特点条件的亚纯函数、微分的存在性。

直观上，我们为黎曼面上的每一点配备一根纤维-复平面，局部开集的丛就是开集和纤维的直积。当时，同一个点上的纤维有两个局部表示，两个表示之间相差一个复线性变换，，并且这个复线性变换全纯地依赖于点。如此的构造，得到所谓的全纯线丛。

设是黎曼面，为二维复流形，投影为全纯满射。如果存在的开覆盖及双全纯映射，满足条件：

1. 
   

2.  当时，存在全纯函数，使得.

则称为上的全纯线丛，并称为丛投影，为局部平凡化，为连接函数。

我们考虑黎曼面上的全纯余切空间，其局部坐标为，坐标变换函数为

,

由此，全纯余切空间为全纯线丛。

如果连续映射满足条件，即，则称为全纯线丛的一个截面，如果为全纯（亚纯）映射，则称为全纯（亚纯）截面。所有全纯截面的集合记为，紧黎曼面上的全纯截面集合构成一个有限维复向量空间。黎曼面上的全纯微分就是全纯余切丛的全纯截面。

给定黎曼面的全纯线丛，，如果全纯映射对满足条件：，并且F限制在每个纤维上都是线性同态，则称为全纯线丛和之间的丛同态。进一步，如果存在从到的丛同态，，使得F，G为互逆的双全纯映射，f,g为互逆的双全纯映射，则称全纯线丛和同构，和为丛同构。

全纯线丛可以表示为局部平凡化开覆盖和联结函数。从连接函数角度来看，和同构，当且仅当存在一族函数，满足：，这里是的连接函数。

黎曼面上所有的全纯线丛可以依照同构进行分类，所有等价类的集合记为。两个全纯线丛和的乘积定义为。如此，成群，被称为是线丛等价类群。

给定一个因子，取黎曼面的一个开覆盖，使得任意两个开集的交集不包含因子中的点。限制在每个开集上，存在亚纯函数，其诱导的因子满足。如果，则定义全纯映射，那么满足联结函数的条件，由此得到的全纯线丛被称为是由因子诱导的全纯线丛，记为。黎曼面理论的一个基本定理断言：是因子类群和全纯线丛类群之间的Abel群同构。

我们可以证明线性同构关系，。

设是复线性空间，如果映射满足条件

1. ；

2. ；

3. ，等号成立当且仅当，

则称此映射为上的一个Hermite内积。

设为黎曼面上的全纯线丛，如果在每个纤维上都指定一个Hermite内积，并且对于的任意两个光滑截面和，上的函数为光滑函数，则称为上的一个Hermite度量。

设全纯线丛在开集上有局部平凡化，则在上存在处处非零的局部全纯截面，使得。记，则为上的正光滑函数。当时，，其中为的连接函数。因而有相容性条件：

,

反之，满足上面条件的一族光滑正函数就给出了上的一个Hermite度量，称为Hermite度量的局部表示。

在局部平凡化领域中，定义形式如下：。我们定义一个整体微分算子D，线丛的联络如下。任给的光滑截面具有局部表示，其中为局部光滑函数。令

.

可以看出联络是线性算子，并且和Hermite度量相容，

.

我们称局部的1-形式为联络1-形式，令

,

由得到, 因此定义了上的一个整体形式， 称为关于度量的曲率形式。

Gauss-Bonnet 定理断言： 给定紧黎曼面上的因子D，为全纯线丛的一个Hermite度量，则有:

.

这里曲率形式代表了黎曼面de Rham上同调群中的一个元素，与Hermite度量的选取无关，成为的第一陈类，记为。第一陈类给出了全纯线丛类群到底空间de Rham上同调群之间的同态：。

从计算角度而言，曲面的共形结构，黎曼面的单值化，全纯1次微分，全纯二次微分，都可以计算。通过曲率计算度量已经完成。但是最为重要的黎曼-罗赫定理的计算方法依然处于较为原始的状态。这次暑期课程，我们着重讲解这些计算方法，和它们在工程、医疗方面的应用。

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。