苗师傅开学日记苗苗师傅/2022年08月31日/约 6 分钟 读简•奥斯汀或者狄更斯的小说，总会遇到英镑、先令和便士，偶尔还会遇到几尼，几尼又写作“畿尼”，有时翻译成“金畿尼”，据说是用几内亚的黄金铸造，一几尼是21先令，也就是1.05英镑，可恶的进制来了。在19世纪，一英镑等于20先令，一先令等于12便士，在钱上面，英国人采用了十二进制和二十进制。这其实没啥好抱怨的，只要熟悉了就习以为常，我们计算时间也是用六十进制和二十四进制。一小时是60分钟，一天是24小时。不过，这要是一道算术题就麻烦了，我在《极简算术史》上遇到了这样一道题，假设1820年，你是伦敦的一个店主，有位女士欠了你几笔账，烟壶1英镑8先令6便士，勺子一套六只计13先令8便士，两个糖罐，每个2先令7便士，一对烛台，1英镑14先令4便士，请问她一共欠你多少钱？如果她给了你一张5英镑的钞票，你要找给她多少钱？这道题算起来，麻烦的地方在于便士加完了是以十二进制进位到先令的，先令算完了是以二十进制进位到英镑的，这位女士欠我4英镑1先令8便士，如果她给我五英镑，我要找她18先令4便士。英国人是在1971年把这个复杂的算法改变为十进制的，1英镑等于100便士，我怀疑英国人一直对货币进制问题没算明白，所以才不加入欧元区的。余生也晚，没赶上用金几尼的时代，十进制，多么简单明确。我看过很多算术书，都会讲位值制，十进制之外，还会讲讲二进制，告诉你二进制下的101是多少，告诉你计算机系统就是用二进制进行计算的。这套说法司空见惯，好像只是一个知识普及，十进制之外告诉你二进制六十进制，让我们注意到生活中的这一现象也就完了。直到我拿到《数学家讲解小学数学》这本书。这本书是一位海淀妈妈推荐给我的，她说，海淀妈妈人手一册，你也买一本学习学习吧。我买了，认真学习了。这本书的作者是伍鸿熙，加州大学的数学教授，他给美国的中小学老师写了一套师资培训教材，从算术写到微积分，《数学家讲解小学数学》是最基础的一本，开头讲位值制和阿拉伯记数法，然后他说，我们要从数学的观点领悟阿拉伯记数法。什么意思呢？他先讲到的是除法的定义和带余除法。带余除法我们并不陌生，25除以6，商是4，余数是1。我们在生活中也会处理带余除法，比如，一场电影是100分钟，这就是1小时40分钟。请注意，我们把100分钟换算成1小时40分钟，把150分钟换算成两个半小时的时候，用的就是带余除法，也用到了六十进制。我们就是用150除以60，商是2，余数是30，看到这里，我们就该明白了，所谓任意数进制，不过就是把这个任意数当成除数。用文字来讲数学真是太麻烦了，好在我们有数学表达方式。3728这个数字，可以展开成3000加700加20加8，我们掌握了展开式和幂的概念，就会知道3728就是这样的——这就是阿拉伯记数法的十进制的数学意义，这就是把一个数字变成为数字10的n次方的展开式。记数就是把展开式各项的系数放在一起，十进制不过就是不断用10来做长除法。回头再看二进制，我们就明白二进制，就是把一个数字改为2的n次方的展开式。在二进制中怎么表达5呢？5除以2，商数是2，余数是1，商数2，在二进制中要再进一位，2再除以2，商是1，余数为0，于是我们看到5，等于1乘以2的二次方，加上0乘以2的一次方，再加上1乘以2的零次方，5在二进制中就是101。用数学方式表达——你算一下，得到的就是5。把各项系数记在一起就是101，二进制下的101，表示为——我们再看14这个数在二进制中是多少，还是用14除以2，商是7，余数是0，7继续除以2，商数是3，余数是1，只要商数比2大就继续除下去。3继续除以2，商数是1，余数是1，所以这就是1乘以2的三次方，加上1乘以2的二次方，再加上1乘以2的一次方，再加上0乘以2的零次方，14在二进制表示为1110——如果用七进制来算呢，14除以7，商是2，余数为0，那就是2乘以7的一次方，加上0乘以7的零次方，表达为20。14在七进制中就是20。伍教授的书让我明白，原来从数学中理解记数法，意味着你理解长除，展开式和幂之后，就能处理任意数进制，六十进制就除六十，十二进制就是除十二。我弄明白这件事之后，逢人就推荐伍教授这本书。我觉得看这本书，得拿一支铅笔和一沓草稿纸认真算，比如他讲七进制之下如何做加减法，不拿笔算就跟不上。去年我就推荐了一次，今天开学，我再推荐一次。我看伍教授这本书，一方面是给儿子上学做准备，他要学小学数学了，我就进修一下小学数学老师课程，回头好帮他写作业。另一方面，我是预防自己得老年痴呆，我平常看太多文学书了，我怕自己看傻了，所以做点儿算术题，换换脑子。我有一个偶像叫露西·凯拉韦，《金融时报》的专栏作家，2016年11月退休，时年57岁，2017年9月1日，在伦敦一所公立学校担任数学老师，还成立了一个非盈利机构，叫 Now teach，这个机构是为那些中年转行想做老师的专业人士服务的。露西教书，估计也有脾气暴躁的时候，据说，她的同事建议她，不要使用low ability这个短语，而应该用low prior attainment 这个词。我在《卫报》上看见一篇报道，说露西教了一年数学之后，就改教商业及写作了，“数学好久不弄，生疏了。” 她去年写了一本回忆录叫《再教育》，讲她离婚、变老、教书的经历。我其实也想去当老师，但咱们这里教书，需要教师证。我只能在家教教孩子。暑假的时候，陪儿子做了点儿《小学奥数一点就通》，做到第八课的时候，遇到这样一个例题。他起先说，有三条线段，我带着他数了一下之后，他知道了，有6条线段。我觉得他没有理解，下面两道题，未必数得清楚。不料想他张嘴就说，10条！我觉得这就是加1，加2，加3，加4，加5。小孩子的语言表达能力很差，但我瞬间就明白他的意思了。线段上增加一个点，不过是增加了它向已有的点所引出的线段，已有A，B，C，D四个点，再加一个端点E，不过是多了由E分别到A，B，C，D的四条线段，所以是6加4。再加一个端点F, 10加5。那一瞬间，我几乎看见他脑子里闪现的火花。陪孩子写作业，就是想看见这样的火花，陪孩子学习，就是你怕这火花灭了，你要这星星之火可以燎原。开学了，儿子，好好学习吧！话说怎么写 LaTex 更好看呢——————
苗师傅约 6 分钟苗师傅约 6 分钟苗师傅约 6 分钟