传统CAD建模方法的瓶颈与整体微分几何
顾险峰约 8 分钟这个周末恰逢教师节和中秋节，朋友们纷纷去海边赏月。下班时沿着长岛海滨高速公路（Ocean parkway）行驶，两侧沧海茫茫，空中一轮明月，波涛汹涌，万顷清辉，正可谓“海上生明月，天涯共此时”。节日期间向亲人师长问候，也收到世界各地很多同学朋友的祝福，非常令人感动！上周五刚刚结束今年的暑期课程，由于讲解了更深的专题（Abel-Jacobi，Riemann-Roch，曲面自旋结构，镜面反射的球面传输等理论），课时延长了一些，但是依然有很多重要的专题来不及讲授，其中最重要的当属全纯线丛和层的上同调理论。
在工程领域，很多时候需要构造某种特殊的几何或者代数结构，这种结构局部容易建立起来，但是推广到全局时会遇到困难。而层的上同调理论就是专门表达和解决这种局部构造的全局障碍的。虽然这种情形几乎在各个工程领域中无处不在，但是由于数学理论的高度抽象性，目前传统工程师们并没有充分理解和应用这种思想方法。经典的CAD手工建模方法无法将拓扑优化后的模型转换为NURBS曲面，也无法直接将3D扫描得到的点云转换成样条曲面，特别是用布尔运算拼接的曲面片不可避免地存在大量裂缝和重叠。传统建模方法所面临的瓶颈本质上是只运用了局部微分几何，而缺乏全局微分几何的思想和指导。
传统CAD方法的内在缺陷
图1. 本田汽车的NURBS 表示。
在几何建模（CAD）领域，传统的曲面CAD表示都是样条曲面，例如B-样条或者NURBS曲面，如图1所示的本田CAD模型就是用NURBS表示的。从拓扑层面上来看，样条曲面是用仿射几何不变量构造的，而拓扑复杂曲面不容许仿射结构，因此样条曲面无法直接构造。更进一步，传统NURBS都是基于张量积，或者等价的结构化四边形网格，而四边形网格本身具有共形几何的全局障碍（例如封闭轮胎曲面上不存在这样的四边形网格，只有一个度为3的奇异点和一个度为5的奇异点）。由于这些拓扑和几何限制，传统的手动CAD建模往往将整体曲面分解，将每一个曲面片用样条表示，然后将每片NURBS修剪，再整体拼接或者进行布尔运算（CSG模型）。当两个NURBS曲面彼此相交时，我们需要计算相交曲线，然后将NURBS曲面在参数域中进行修剪。由基本的代数几何定理可知，两个次数为的多项式曲面相交，其交线的次数是量级，在参数域中的表示十分复杂，一般只能近似。因此由简单NURBS曲面片通过布尔运算表达的CAD模型在交线处都有无法避免的重叠或者裂缝，即缺乏水密性。虽然人眼看不出来，但是在后期模拟仿真过程中，这些瑕疵会严重阻碍计算。在后期制造过程中，这些裂缝需要进行特殊处理，进行补缝和光滑化，刀具的路径设计也需要特殊考虑。这些瑕疵的弥补需要大量手工操作，十分令人头痛。
图2. 汽车的B-柱的NURBS表示。
例如图2所示，汽车两门之间的支柱用NURBS表示，表面上看简单齐整，实际上却是由1537个NURBS曲面片拼成，其中的1276片是经过修剪得到的。放大之后再看，千疮百孔，复杂异常。那么，是否可以将这上千张NURBS合并成一张，不再需要拼接和修剪呢？答案是肯定的，但需要比较先进的理论和方法。
图3. 传统的分片参数化方法。
如图3所示，传统的几何处理软件只能将简单的曲面片参数化。对于复杂的曲面，传统方法只能将其分解成多个碎片，再将每个碎片平铺到平面上。这样，三维曲面上不可避免地出现很多裂缝，拼接这些裂缝保证整体光滑性非常繁琐和困难。
图4. 全局曲面参数化。
我们课程上讲过曲面单值化定理，也讲过Ricci流理论，我们知道整张曲面可以平铺到二维平面上，从而建立曲面的参数域。如图4所示，用Ricci流和最优传输，我们可以将曲面整体参数化，从而避免曲面整体的拼接问题。对于几何建模，我们需要整体结构化四边形网格生成。
新方法的优势
图5. 结构化四边形网格生成，奇异点选取。
如图5所示，给定一张曲面，可能具有复杂拓扑，我们来整体构造结构化四边形网格以生成高质量NURBS。首先，网格的格线光滑流畅，两族流形彼此正交垂直，这意味着流线是调和共轭的，曲面的全局参数化是共形的。整体性的关键在于奇异点位置的选取，如果选取得当，那么流线与特征线重合，与边界平行或垂直。局部上，我们可以轻而易举地构造这种网格，但是整体上能否拓展，这个问题非常有趣而深奥，这也正是今年暑期课程的核心内容，Abel-Jacobi理论给出了奇异点的限制条件，决定了存在性；Riemann-Roch给出了解有多少，而这些理论的现代版本就是全纯线丛截面层的上同调理论。
给定物理世界中的曲面，具有欧氏空间诱导的黎曼度量，则曲面具有天然的共形结构，可以被视为黎曼面。代表曲面的余切丛，令全纯线丛 为余切丛的4次幂：
等价地，令是余切丛的一个全纯截面，即黎曼面的全纯微分，为的零点构成的除子，令，那么。任意一个上的四边形网格剖分，若与共形，则都对应一个亚纯四次微分，即的一个亚纯截面，。给定用户指定的四边形网格奇异点，即的零极点构型，，那么我们有：
所有这种亚纯截面等价于全纯线丛的全纯截面，即
因此四边形网格的存在性归结为判定截面层的上同调群是否为零。由Riemann-Roch定理, 层的欧拉示性数为：
这里g为曲面的亏格。进一步由Serre对偶定理
我们面临如下几个基本理论问题：
是否存在一个四边形网格，其奇异点构型恰为，这等价于是否为平凡丛，为复一维。这一问题已经解决，要用到丘成桐先生带领笔者团队共同发明的全纯微分的算法和曲面Ricci流算法和Abel-Jacobi理论； 如果不存在这样的四边形网格，如何修改，以保证四边形网格的存在性？这一问题已经解决； 如果只是部分地描述四边形网格的奇异点构型，估计解空间的大小，即群的维数。这个问题目前为开放状态。
由Riemann-Roch定理可知，如果我们选取包含足够多的极点，即四边形网格上度为3的奇异点，则右侧必为正数，解一定存在。这和经验相符：增加度为3的奇异点，结构化四边形网格相对容易构造。
相较于传统方法，这里的方法具有很大优势：
理论严密，整个算法具有严格的理论基础，解的存在性、唯一性有保证，从而具有普适性； 自动化，由于用数学理论取代手工调整，算法的自动化程度较高； 整体性，算法整体求解，减少碎片个数和裂缝条数，提高整体光滑性； 简单性，传统样条建模算法中，复杂拓扑的样条拼接，多片样条曲面片汇合处的补洞等都是非常复杂繁琐的。新算法的整体性减少了拼接的负担，更加简洁直接；同时参数域也不再有复杂的修剪（如图6）； 适用性，新的样条曲面更加适用于后端分析的任务，和CAM中的路径规划。这种算法也适用于拓扑优化得到的曲面到NURBS的转换，以及用3D扫描、逆向工程方法进行的几何建模。 从长远来看，用整体微分几何观点来扬弃局部观点，符合科技发展的历史规律。从近期工程角度而言，目前存在很多未知需要进一步探索，例如网格流线顺应特征线和边界线等等，这一方向任重而道远。 图6. 传统的修剪NURBS（左帧）；非修剪的整体NURBS（右帧）
等几何分析方法
图7. 1996 Dodge Neon CAD模型的传统NURBS表示，无法直接用于IGA分析。
图8. 基于整体微分几何重新参数化处理后的Dodge Neon 模型，可以直接用于等几何（IGA）分析。
在CAE领域，等几何分析（Isogeometric analysis）是目前发展迅猛的一个领域。在传统的几何建模（CAD）领域，所有模型的数学表示都是样条曲面；在传统的CAE领域，几何模型都用三角网格来表示，各种偏微分方程都用有限元、有限体积法等求解。将CAD模型转换成适用于分析的模型占据了整个流程的70%左右的时间。等几何分析方法统一了CAD和CAE的数学表示，用样条来表达偏微分方程的解空间，从而省却了中间的网格生成和几何逼近的步骤。和传统的有限元方法相比较，等几何分析方法具有一定的优越性，例如更光滑的基函数具有更好的逼近能力，在共振分析中展现了更精确的计算结果等等。但是传统CAD曲面中的NURBS曲面缺乏水密性，大量的裂缝、重叠等几何瑕疵使得其NURBS表示无法用于等几何分析（图7所示）。用我们这里介绍的方法得到的高质量NURBS可以直接应用于IGA，得到高精度计算结果（图8所示）。
小结
传统的手工CAD建模方法首先建立多个曲面片的样条表示，然后将这些曲面片用布尔运算和修剪拼接起来，得到的NURBS曲面具有大量的裂缝和局部重叠，无法得到具有水密性的曲面表达，因此需要繁重的处理工作加以改善。这种方法本质上是局部方法，工程性地生硬拼接。如果用共形几何的理论，我们可以用全局的方法得到整体的NURBS曲面，本身具有水密性，直接适用于下游的分析和制造流程。算法的核心是Ricci流方法和全纯线丛截面层的上同调理论。这再度显示了现代数学对于工程领域本质问题的前瞻和指导作用。
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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。