2023春季《计算共形几何》课程总结
顾险峰约 9 分钟GPT时代的焦虑
2023年的上半年，ChatGPT成为整个科技界的焦点。很多人认为依随大模型的迭代，人类文明将成为硅基文明的过渡阶段。传统的科学方法论即将被彻底颠覆，具有数十万亿参数的大模型将成为一切的最终答案。例如近期以来，ChatGPT的横空出世使得传统自然语言理解领域的学者们一夜之间失去了研究阵地；Meta发布的分割一切（Segment Anything），随之而来的追踪一切（Track Anything）几乎终结了计算机视觉领域的两个最为重要的子领域。目前尚未被大模型浪潮席卷的子领域似乎只剩下3D视觉，但是非常有可能一夜之间某个巨头公司突然宣布生成一切3D的大模型。那么传统的人类智慧是否会被大模型所涌现的人工智慧所取代？是否人类引以为傲的精粹数学理论最后会像围棋艺术一样，被AI打落神坛，抽象深邃的思想最后不过是规模庞大的网络搜索？特别是年轻学子是否有必要花费巨大的心血，忍受频繁的精神打击去学习现代代数拓扑、微分几何等抽象理论？
笔者在备课过程中频繁使用ChatGPT，讨论数学概念的深入理解、厘清整体理论体系。总体而言，ChatGPT的表现差强人意。一方面，GPT具有强大的文献搜索和语言组织整合能力，对于成熟的概念理论信手拈来，滔滔不绝；另一方面，GPT只限于表层语言的理解，对于语言背后的内涵无法真正理解，换言之GPT无法理解语言所指向的真实物理世界。对比于知乎而言，对于自学系统化的知识体系，ChatGPT所能提供的帮助非常有限，它无法将高层次的概念用低层次的概念讲解清晰，而是同一层次的概念之间循环互指，也无法用日常生活中的现象进行比喻，更无法在不同理论体系间进行类比。ChatGPT善于组织整理人类已有的知识体系，但是目前无法产生新的知识。人类思维中形成概念的抽象能力，体察宏大自然结构的悟性，这些人类所特有的思维特质，与其说是依赖于人类的语言，不如说是更依赖于人类的审美直觉。目前ChatGPT强烈依赖于人类用户的反馈，即所谓的增强学习，这意味着ChatGPT并没有自身的判断能力和审美标准。大模型可以迅速发现人类尚未认识到的某些规律，但是将各种纷繁杂乱的规律整合成简洁自洽的理论体系，目前GPT没有这种能力。人类数学思维的特质是否可以由超大规模神经网络的涌现现象来解释和复制，目前依然未知。
从另外方面而言，ChatGPT的爆发为计算机领域的工程师带来了焦虑。马斯克解雇了Twitter绝大部分的程序员，但是Twitter系统性能并没有受到太大影响。这犹如戳破了IT产业皇帝的新衣，引发了裁员狂潮，各种人寰惨剧时有耳闻。硅谷的朋友也透露Meta正在尝试用AI技术取代中层管理人员，谷歌的底层代码也由AI完成。年轻一代究竟学习掌握哪种能力才能在未来和AI的竞争中立于不败之地？笔者认为浅层次的思维能力和工程技能很容易被AI所取代，因此掌握精深的数学理论将会成为真正的核心竞争力。
2023年春季学期，笔者在线上讲授了《计算共形几何》课程。与往年课程设置类似，今年的内容涵盖了曲面的代数拓扑、微分几何、黎曼几何与共形几何的基本概念和定理，以及成熟的计算方法；与往年有所区别，今年的课程着重现代观点的引入，特别是Abel-Jacobi定理，全纯线丛理论，Riemann-Roch定理。遗憾的是，因为时间仓促，我们没有讲解由丛截面层的上同调来诠释Riemann-Roch定理，而这正是进入高维复几何理论的关键入口。
第一周，我们介绍了曲面的拓扑结构，主要概念是曲面的基本群、覆盖空间，单纯同调群，deRham同调群，调和微分同调群等等。计算工具包括CW-cell分解，图论方法，持续同调和曲面有限元。主要算法包括曲面同伦群基底和关系，上同调基底，Hodge Star算法，调和形式算法。拓扑结构定理包括曲面拓扑分类定理，Van Kampen-Serfeit 定理，Hodge分解定理，结构间定理包括 拓扑结构与黎曼度量结构间的高斯-博纳定理（用拓扑度证明），拓扑与分析之间的Hodge分解定理。第二周，我们主要讲了黎曼面理论，包括最为关键的基本定理，Riemann-Roch定理，Abel-Jacobi定理，单值化定理；讲了Abel微分的应用，全纯微分用于曲面共形映射，曲面共形模，全纯二次微分用于曲面叶状结构，Teichmuller空间坐标。讲了现代观点，全纯线丛，Picard群，陈类等。第三周，我们主要用活动标架法和微分形式来研究曲面微分几何，介绍了联络、曲率形式、Gauss-Bonnet定理，测地线的一阶二阶变分，极小曲面及面积变分，调和映照理论，证明调和能量的一阶二阶变分，调和映射的存在性、唯一性、稳定性和正则性。第四周，我们介绍双曲几何，离散曲面Ricci流理论，应用区域不变定理、Teichmuller空间方法来证明Ricci流解的存在性、唯一性，从而得到离散单值化定理。
我们将曲面视为二维流形，被局部坐标覆盖，如果局部坐标间的变换都是双全纯变换，则曲面具有复结构（共形结构），从而成为一张黎曼面。我们可以将经典复分析的全纯、亚纯函数和微分的概念直接定义在黎曼面上。开黎曼面的中心定理是单值化定理（uniformization），而紧黎曼面的中心定理是黎曼-罗赫定理。
单值化定理
单值化定理断言单连通的黎曼面只有三种：球面, 复平面和单位圆盘。如题图所示，单值化定理的微分几何解释更加直观，任给一个可定向的度量曲面，存在一个函数，使得度量诱导常值高斯曲率：如果曲面的欧拉示性数为正、零和负，则相应的常数值为,和。这一定理意味着我们可以将任何物理中的三维曲面保角映射到二维平面上，从而将三维几何问题降维成二维平面问题。这种降维思想有望极大地提升工程算法的质量与效率。零亏格闭曲面的单值化可以用球面调和映照来计算（左帧）。所谓调和能量即为曲面弹性形变势能，我们用高斯映射将曲面映射到单位球面，然后用非线性热扩散来优化调和能量，最终得到调和映照。根据Hopf定理，拓扑球面间的调和映照必为保角映射。一亏格曲面的单值化可以用全纯微分来计算（中帧）。根据Hodge理论，曲面每个de Rham上同调类中存在唯一的调和微分，调和微分与其共轭组成全纯微分，全纯微分在曲面的万有覆盖空间上的积分得到单值化映射。我们课上介绍了单纯同调、离散Hodge分解的算法，从而得到全纯微分。目前计算一般曲面的单值化度量的算法只有一种（右帧）：曲面Ricci流 。Ricci流将曲面的黎曼度量依随时间演化，演化速率正比与Ricci曲率，曲率演化满足扩散-反应方程，最终趋于常值：，这里是曲面的高斯曲率。我们在课上介绍了离散曲面Ricci流的理论，证明了解的存在性、唯一性，同时给出离散解到光滑解的收敛性。
黎曼-罗赫定理
除子、Jacobi簇与全纯线丛 给定一张黎曼面，亏格为。黎曼面上离散点的整系数线性组合被称为是一个除子（divisor），整系数之和为除子的度（degree）。例如给定一个亚纯函数，其诱导的主除子为，这里是函数的零点和极点，是零、极点的阶数。两个除子线性等价，如果它们彼此相差一个主除子。除子类在加法下构成除子类群，度为零的除子类构成的子群被称为零度除子类群。
假设曲面下同调群的典范基底为, 全纯微分群的对偶基底为。曲面的周期矩阵为，
周期矩阵列向量的整系数线性组会构成格。维平环被称为是的Jacobi簇。黎曼面上固定一点，我们定义Abel-Jacobi映射，对于任意的点，选择一条路径连接和，
Abel-Jacobi定理断言主除子的Abel-Jacobi像为0，，为单射，Jacobi定理证明是满射，因此零度除子类群同构于Jacobi簇，。
我们考察曲面上的全纯线丛，假设是一个亚纯截面，得到除子。如果都是的亚纯截面,则它们的除子彼此等价，即，是某个亚纯函数。反之，给定一个除子，我们构造一个开覆盖 , 满足于除子没有交集。在每个开集上构造亚纯函数，使得，如此得到双全纯变换函数，构造了一个全纯线丛。如果彼此线性等价，则全纯线丛与彼此同构。同时，给定两个全纯线丛和，它们的乘积为，所有的全纯线丛类在此乘法下构成黎曼面的全纯线丛类群。如此我们得到紧黎曼面的零度全纯线丛类群与零度除子类群同构，。
黎曼-罗赫定理给出满足特定条件的亚纯函数与亚纯微分空间维数之间的关系。给定除子，表示所有的亚纯函数，满足条件，构成的线性空间；表示所有亚纯微分构成的线性空间，这里满足条件。黎曼-罗赫定理断言
另一方面，除子决定了全纯线丛, 截面层的上同调群为和,线丛的欧拉示性数为. Riemann-Roch定理可以被理解为：
潜在的应用
计算共形几何已经被广泛应用于医学图像领域。例如传统的方法首先将医学图像进行分割，得到器官曲面在每张图片中的轮廓，然后通过分割后的二值图像恢复曲面。由于随机噪声和分割误差，如此得到的曲面有很多虚假的环柄，即所谓的拓扑噪声，自动检测并且去除这些环柄需要用到计算拓扑的方法，例如求取基本群的基底，计算持续同调群等等。初始曲面过于庞大，很多时候需要进行简化，并且进行几何去噪，一种常用方法是曲面平均曲率流方法，来自极小曲面理论。为了检测到几何特征点，我们往往用微分几何方法计算曲面的各种曲率，测地线。为了将不同的曲面进行比对和注册，我们计算曲面的单值化度量，将曲面共形映射到平面区域，然后用带有特征限制的平面调和映射或者拟共形映射来实现曲面间的映射。这些基本算法已经广泛应用于脑神经疾病的放置盒诊断和虚拟肠镜等领域。
Fig1. 共形脑图。
Fig2. 虚拟肠镜。
另一方面，计算共形几何的算法目前被学术界广泛接受，在医学影像领域已经广泛使用。在游戏动漫领域，基于共形几何的曲面参数化和纹理贴图也非常普遍。但是在其他工业领域尚未大规模应用。在CAD/CAE领域，由美国三院院士Tom Hughes教授所创立等几何分析（Isogeometric Anylasis）方法日益成为有限元方法强有力的竞争者。等几何分析需要曲面和实体的结构化网格剖分。而结构化网格生成一直是强烈依赖于工程师手工经验的领域，缺乏坚实的理论基础。近些年来，通过与Hughes团队合作，笔者和合作者们逐渐认识到曲面结构化网格等价于黎曼面全纯线丛的整体亚纯截面，其奇异点的构型被Abel-Jacobi定理所统治。
Fig 3. 汽车的IGA 模型。
未来展望
从历史过程来看，大多数拓扑、几何学科的发展都经历了连续流形的基础理论、离散流形的推广理论、计算方法的提出和繁衍、工业流程的提炼与改进。计算共形几何目前已经发展到第三、四步之间。例如，根据Teichmuller理论，度量曲面间的映射中畸变最小者为Teichmuller映射，Teichmuller映射由两个曲面上的特定全纯二次微分所决定，但是目前不存在普适、成熟的算法求取这两个全纯二次微分。再如，根据Loftin的理论，曲面的射影结构决定于曲面上的全纯三次微分，目前不存在算法由三次微分构造射影结构。笔者期待未来几年中，这些问题得以彻底解决。一般而言，学术界成熟的成果真正被工业界承认需要数十年。计算共形几何算法的鲁棒性、效率、收敛精度等等都需要经历工业实战的磨砺得以提升，从而真正达到实用要求。我们希望有更多的年轻人能够通过学习计算共形几何而熟悉现代拓扑和几何，从而更加热爱数学，热爱计算机科学，推动理论发展，实现技术创新！
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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。