计算共形几何，十年风雨

2023年7月中下旬，丘成桐先生发起的首届世界基础科学大会（International Congress of Basic Sciences）在北京举行。大会邀请了一位诺贝尔奖、八位菲尔兹奖和三位图灵奖获得者，盛况空前。笔者见到了多年未见的丘先生，David Mumford（代数几何大师，菲尔兹奖得主），Richard Hamilton（Ricci 流的发明人）等多位几何大师，和很多数学家、计算机科学家朋友们。笔者也受邀做了plenary报告，主要汇报与丘先生合作可解释AI方面的近期工作：几何观点下的最优传输理论和AI生成模型。

Fig 1. 北京雁栖湖应用数学研究院，Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（刘熠摄）

大会在怀柔雁栖湖畔举行，这里风景秀丽，气候怡人。笔者做大会报告的时候，窗外即是苍莽群山，山上蜿蜒着万里长城。大会有很多精彩绝伦的报告，在笔者聆听的所有报告中，丘成桐先生的名字几乎处处稠密。很多大会报告对于计算机算法而言，非常具有启发意义：例如德国柏林大学的Bobenko教授团队将我们计算共形几何中的离散Ricci流进行了推广，从而得出推广的离散单值化定理；汪徐家院士讲解了推广的蒙日-安培方程解的存在性、唯一性和正则性结果，与我们课上讲解的球面最优传输算法相互验证；郁国樑教授讲解了用自旋丛狄拉克算子的指标定理来证明Gromov的多面体猜测，从另外的角度阐释了凸多面体的刚性；Columbia大学的Aggarwal教授汇报了四边形网格曲面构成的Teichmuller空间中的算术渐进估计，与我们Abel-Jacobi定理、结构化网格理论密切相关；林勇教授与丘先生将离散Ricci流推广到图（Graph）上，证明了归一化流解的存在性和唯一性，极大地拓广了Ricci流的工程应用等等。

笔者在会上也见到了波士顿国际出版社的秦立新经理，邓宇善先生，得知笔者主编的《丘成桐应用数学论文集》上下两册已经出版。这两部论文集汇总了丘先生在应用数学领域中近百篇论文，涵盖计算共形几何、计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助设计（CAD），医学图像，网络，控制理论，数值偏微分方程等众多领域。对于广大工程领域的朋友们而言，值得珍藏学习。

Fig 2. 《丘成桐应用数学论文集》。

笔者在会议上也遇到了高等教育出版社的赵天夫主编，得知丘先生与笔者撰写的教程《计算共形几何-理论篇》已经被订购了五千多部。赵主编邀请笔者再多撰写几部专著，特别是《计算共形几何-算法篇》。笔者为广大读者的学习热情深深感动。

Fig 3. 与丘成桐先生合著的教材，《计算共形几何-理论篇》。

丘成桐先生多年来为中国数学教育事业的发展殚精竭虑，呕心沥血，在很多大学都成立了数学科学中心，包括清华大学、浙江大学、东南大学、香港中文大学、台湾交通大学等等。这使得很多青年学子得以接触国际数学前沿，获得宝贵的深造机会，从而能够在数学领域展现才华、成就事业。笔者在很多国际会议上，经常遇到青年华人数学教授，谈及求学经历他们往往都在人生关键时刻，通过丘先生的中心遇到可遇不可求的机会，从而最终成为数学教授，执教于世界各地。浙江大学数学中心曾举办了许多国际一流的学术活动，邀请了大批国际顶尖数学家前来讲学。目前国内外优秀的华人青年数学家中，许多都曾在浙江大学数学中心学习过，从那里开启了他们的数学征途，其中不少人成为了国际著名数学家。前不久，笔者在新泽西的数学会议上遇到一位德州大学的教授，他就是从浙江大学的数学中心开始了万里鹏程，他从内心由衷地感谢丘先生和刘克峰师兄。

Fig 4. 清华荷塘月色。

在过去的十数年间，每年暑期丘先生都会召集一批海外学者到清华大学丘成桐数学科学中心讲学。出于对母校的感恩之情，笔者每年都回到清华讲解《计算共形几何》。疫情期间，课程转至线上，授课语言也变成英语和汉语双语，以方便全世界的同学们听课。丘先生也多次亲临线上课堂，向同学们答疑解惑。很多时候，聆听线上直播的听众人数高达数万。

考虑到清华大学以工程科学为主，听众以工科背景学生居多，笔者在课程设置上选择了基础数学理论与计算机算法并重的路线。一方面，从历史上来看，计算机科学的发展远远落后于数学，很多现代数学的思想和方法还没有渗透到计算机领域；但是在另一方面，计算机科学发展极其迅猛，很多工程领域的根本问题必须用到现代拓扑和几何。但是时至今日，计算机科学的教育体系中也不包含必要的现代拓扑几何知识，训练出来的学生无法满足日新月异的科技市场需求。我们希望“计算共形几何”这门课程能够弥补这一方面的缺憾，探索不同工程领域核心问题的数学原理，为年轻的学子们扩大视野，增强底蕴，锤炼能力，领悟数学的美丽和结构。

数学主要研究自然界的各种结构，以及各种结构之间的内在关系。工程问题主要关注现实物理世界中的曲面和实体，并且用偏微分方程来描述各种物理现象。物理世界的曲面本身天然具有拓扑结构、黎曼度量结构、共形结构、以及曲面在欧氏空间中的等距嵌入结构等等，相应的理论科目是代数拓扑，黎曼几何、黎曼面理论和曲面微分几何。因此，我们的“计算共形几何”课程涵盖基础数学本科的代数拓扑、黎曼几何、黎曼面理论和微分几何课程。同时，为了解释计算方法，我们也介绍一些研究生水平的数学课程，包括调和映照理论、Teichmuller空间理论、曲面Ricci 流理论。近年来，依随AI的蓬勃发展，我们系统地介绍了凸微分几何中的Minkowski-Alexandrov理论，以及等价的Monge-Kantorovich-Brenier最优传输理论。

Fig 5. 2013年的暑假，与罗锋教授一同去清华数学系讲授“计算共形几何”。

在不同的年份，根据当时的科技热点，我们相应地讲解相关的知识。例如，当metaverse比较热潮的时候，我们介绍基于共形映射的几何图像算法；当自动驾驶兴起的时候，我们介绍3D视觉、点云重建算法；当大兴机场落成，扎哈-哈迪德的曲线设计风靡全国的时候，我们介绍曲面叶状结构与黎曼面全纯二次微分算法；金融大数据蓬勃之时，我们介绍了持续同调的理论和算法；这两年CAD/CAE再度成为科技热点，而结构化网格等价于某种纤维丛的全局截面，我们着重介绍纤维丛示性类理论，等等。

从工程计算角度而言，传统的计算代数方法，例如Grobner基方法，数值偏微分方程计算方法，例如有限元法、有限体积法无法计算出这些拓扑、几何结构中的核心不变量。因此，我们在“计算共形几何”课程中介绍新发展起来的理论和算法。在代数拓扑中，我们介绍了同伦群、单纯同调群、持续同调群的计算方法；在黎曼几何中，我们介绍了霍奇分解算法，调和微分de Rham上同调群的算法，曲面间调和映射的算法，测地线的算法；在凸微分几何中，我们介绍了从高斯曲率重建凸曲面的Minkowski问题的解法，根据高斯曲率重建开放凸曲面的Alexandrov问题的解法，反射镜面、透射镜面设计问题的解法，这些算法等价于最优传输问题的解法；在黎曼面理论中，核心是两类算法：一类是基于单值化定理的离散曲面Ricci流算法。这类算法是迄今为止唯一的能够通过目标高斯曲率得到黎曼度量的算法，而绝大多数工程几何问题，最终都归结为求取某个具有特殊性质的黎曼度量问题。因此，这类算法具有根本的重要性；另外一类算法是基于Abel-Jacobi理论的计算Abel微分的方法：各种共形映射、共形不变量的计算最终归为全纯一形式的计算；曲面上的各种叶状结构都归结为全纯二次微分的计算；曲面上的各种实射影结构归结为全纯三次微分的计算；曲面上的四边形网格归结为黎曼面上的亚纯四次微分的计算，等等。我们将这些主要的算法布置成家庭作业，让同学们通过C++编程深化对理论的理解，同时增强处理实际几何问题的工程能力。

在清华讲学期间，笔者和其他学者和同学们深入交流，共同研究。在丘先生的带领下，逐步发展完善了计算共形几何的理论和算法。我们在2012年左右已经完成了离散曲面Ricci流的算法，但是离散曲面Ricci流解的存在性、唯一性和收敛性的理论证明直到2018年才在Journal of Differential Geometry期刊上发表。虽然证明过程中经历了很多曲折和磨难，但是我们深信这个算法具有根本的重要性，因此这一切代价都是值得的。在清华讲学阶段，我们也发表了最优传输映射的几何变分理论，从欧式几何推广到球面几何。目前来看，这套理论解释了AIGC中的生成模型。近年来，我们也步步为营地建立网格剖分地理论基础，证明了相应的指标定理。

近期，网络上有些文章批评国内教育工科理科化，即工科学生学习过多的理论知识，缺乏实际动手能力。对此，笔者认为应该辩证地考虑。笔者长期在计算机科学领域进行研究实践，切身感受到很多工程领域的根本问题解决在于引入深刻的数学理论，而非依靠本领域的传统知识。很多工科领域的基础数十年停滞不前，往往是因为本质问题没有从理论层面认识清楚。

笔者本科在清华大学计算机科学与技术系学习，当时很多前辈老师在研制和开发国产的CAD系统。笔者有幸系统地学习了CAD领域的相关知识。当时笔者关于CAD的样条理论产生了很多问题，但是没有能力给出确切回答。多年之后，在积累了一定的拓扑几何理论知识之后，笔者才有能力给出相对严密的解答。

首先，传统的样条曲面是通过样条曲线通过张量积生成，因此是定义在曲面四边形网格上面的。那么，是否存在定义在曲面一般三角剖分上的样条构造？答案是肯定的，传统样条构造是基于Blossom理论。历史上Dahmen , Micchelli, Seidel曾经将Blossom理论推广到平面的三角剖分上，从而可以定义在曲面三角剖分上。这种构造被称为是DMS样条。

其次，样条曲面的缺陷在于所谓的奇异点，在奇异点处曲面光滑性变差，为后面的CAE和CAM带来巨大的困扰。如何尽量消除奇异点成为CAD领域中的一个长期目标。表面上看传统样条曲面的奇异点是由曲面四边形网格剖分带来的拓扑量，那么定义在曲面三角剖分上的DMS样条是否可以消除奇异点？答案是否定的，因为传统样条也好、DMS样条也好，都是基于Blossom理论，而Blossom的实质是依赖仿射不变量来构造样条函数。如果曲面存在一个仿射结构（即曲面的一个图册，所有的坐标变换函数都是仿射变换），那么可以定义一个全局没有奇异点的样条函数。但是，曲面仿射结构的存在性有全局拓扑障碍。因此，基于Blossom的样条无法避免奇异点。由此，DMS样条的实用价值不大，一直没有被工业界所采用。

后来，Sederberge发明了T-样条，成为CAD领域中近二十年来的最大的进步。T-样条同样是基于曲面的仿射不变量，因此奇异点无可避免。Sederberg曾经问过笔者，这些奇异点背后是否存在某种隐秘的规律，是否可以用某种微分或者积分方程所描述。笔者和合作者们最终回答了这个问题：全局光滑的T-样条曲面的奇异点应该满足代数曲线领域的Abel-Jacobi方程。

这个问题与结构化网格生成领域的一个古老问题紧密相连：为什么轮胎曲面上不存在只有两个奇异点的四边形网格剖分，一个度为3，另外一个度为5？从1970年代，网格生成领域的工程师就认识到这个问题，但是一直没有直截了当的解答。而这种似是而非的混沌状态，导致了结构化网格生成一直依赖于大量的手工调整。笔者与很多CAD/CAE领域的专家学者讨论过这一问题，绝大多数人都以为这是一个组合问题，很少有人能够真正理解这是一个共形几何（代数几何）问题，对于Abel-Jacobi理论（即全纯线丛的示性类理论）更是毫无概念。笔者曾经与Tom Sederberg和Tom Hughes等专家学者讨论过，他们都比较坦率，承认无法理解，但是都给与充分的尊重和支持。Tom Hughes坚信我们理论的科学性，并且说服Beta-CAE积极与我们合作将这一理论应用于汽车碰撞的数值仿真（Fig 9）。

在过去的十年间，依随社会的飞速发展，大量的新概念、新技术已经深入人们的日常生活。“计算共形几何”课程中出现的原本非常抽象的一些数学概念现在都已经变得耳熟能详了。

Fig 6. 最优传输映射等价于求解Mong-Ampere方程。

陈省身先生曾经说过：蒙日-安培方程是所有偏微分方程中最为非线性者。丘成桐先生曾经用蒙日-安培方程石破天惊地解决了Calabi猜想、正质量猜想等。凸微分几何中的Alexandroff问题从高斯曲率求解凸曲面，等价于求解蒙日-安培问题；最优传输的Brenier理论将最优传输映射归结求解蒙日-安培方程，从而与Alexandroff问题等价。受到Alexandroff问题的启发，我们发展了蒙日-安培方程的几何变分解法。去年、今年AIGC成为时代焦点，而AI中的各种生成模型，最终都可以用最优传输理论来解释，而AI中的模式坍塌可以归结为蒙日-安培方程解的正则性。因此，一夜之间，在整个计算机领域，蒙日-安培方程、最优传输成为热门词汇。笔者和丘先生提出的可解释生成模型目前已被谷歌研究部门应用于下一代手机之中。

Fig 7. 大兴国际机场的穹窿设计，基于曲面叶状结构理论 (今日中国）。

大兴国际机场大胆采用扎哈-哈迪德风格的设计，穹窿上钢梁布线模式非常类似于曲面的叶状结构（foliation）。而曲面上所有的叶状结构等价于曲面上全纯二次微分的水平轨迹。而全纯二次微分的计算可以由graph-valued的调和映照获得。

Fig 8. 虚拟肠镜技术，基于黎曼面Abel微分理论。

虚拟肠镜技术用于直肠癌筛查，目前在世界范围内被广泛应用。近年来，日本、韩国政府鼓励中老年人群进行这种例行体检，全民医保。而息肉定位，直肠曲面之间的配准都依赖于全纯一形式的计算。

Fig 9 汽车碰撞数值仿真，结构化网格基于Abel-Jaobi理论。

在CAD/CAE领域，过去十年间等几何分析方法（isogeometric analysis）得到长足发展。数值仿真之王是汽车碰撞模拟，笔者和Tom Hughes（IGA的发明者）团队与Beta-CAE公司合作，在世界上首次用IGA方法完成轿车白体碰撞模拟仿真，与Honda公司相差三个月左右。而IGA方法的预处理需要将初始裁剪CAD模型改进成水密的整体NURBS模型，而这归结为曲面规则四边形网格生成，即求取特殊的亚纯四次微分。

历经十数年的坚持，据不完全统计，大概有十数万年轻人都上过“计算共形几何”的课程。由于课程具有一定难度，很多同学都曾经多次上过这门课程。笔者在世界各地经常遇到以前的学员，在大陆各地的高校、北京、上海、深圳等城市的高科技公司：腾讯、阿里、网易、字节跳动、云道等等；在北美的硅谷、西雅图、纽约、奥斯汀的谷歌、亚马逊、脸书、微软、Beta-CAE、Cadence、Ansys等等；在法国的巴黎、荷兰的阿姆斯特丹等等。很多同学经常和笔者线上联系，询问课程相关的问题。例如这次北京开会，王元光同学从城内冒着暴雨来到雁栖湖来讨论。王同学将历次讲义打印出来，精心地在上面标出问题，记下心得。由于疫情期间一直未能相见，王同学准备了上百个问题，逐一细致讨论。生物制药领域的洪同学在蜜月期间，翻山越海，携带娇妻从波士顿驱车来到纽约，和笔者讨论共形几何问题。洪同学详尽地将课堂笔记用Latex编辑整理，并且配上精美的插图，令笔者非常感动。在德克萨斯州的Cadence研究院，笔者遇到一位复旦物理专业的毕业生，因为学习了计算共形几何而被公司招聘进行CAE方面的研究。他向笔者询问了离散曲面Ricci流算法的细节问题，应用于网格生成的工业应用。吉林大学汽车系的一位教授也向笔者询问Ricci流的算细节，成功地解决了汽车车壳加工成型方面的一个长期开放的问题。笔者深深地被同学们孜孜不倦的求学精神所感动，也衷心希望“计算共形几何”能够助他们一臂之力，在人生征程中取得成功。

依随社会的进步，科学的昌明，人们变得愈加理性。这次国内访问，笔者感到在大学专业选择上，计算机专业逐渐降温，数学专业开始受到追捧。笔者来自一个文化教育相对落后的三、四线濒海城市，在过去的数十年里，这里几乎没有职业数学家。此次探亲之旅，很多亲朋好友向笔者询问子女在数学领域如何深造，在聚餐中突然有人要求笔者用几句话讲清楚“拓扑是什么，有什么用”，这令笔者深感欣慰。笔者如下答道：“近些年来，由于计算机芯片逼近了物理极限，人们对于拓扑绝缘体和量子计算非常重视，因为它们是有望打破摩尔定律的颠覆性技术。拓扑绝缘体是基于量子霍尔效应，而量子霍尔效应的数学解释就是纤维丛的陈省身示性类。而量子计算中的噪声过大，人们正在应用扭结理论设计量子算法，通过拓扑不变性来消除噪声的影响。扭结不变量的物理诠释恰是通过陈省身-西蒙斯示性类来实现的。由此可见拓扑对于现代科技的重要性。”

今年，笔者计划继续线上的“计算共形几何课程”，从八月第二周开始，每周一、周四晚上8：30开始。腾讯会议号为：883 2148 2191，B站直播网址为：http://online.conformalgeometry.org/。期待和广大同学们共同欣赏现代数学惊心动魄的壮美，探索大自然深邃奥妙的秘密！

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。