浅议曲面分类的数学基础

最近，很多年轻的华裔学者、学生从中国和美国不同的城市来长岛访问笔者，共同探讨拓扑几何理论，和人工智能方面的算法。很多同学对于纤维丛示性类、曲面分类、几何的内在表示非常感兴趣，他们的AI科研项目中需要了解这些问题的数学理论。笔者在这里针对曲面的分类和表示，粗略地介绍一下数学上的基本观点，希望能够对大家有所启迪。

根据克莱因的Erlangen纲领，不同的几何研究不同变换群下的不变量。每一个变换群，对应一套理论体系，可以将所有的曲面进行分类。每个等价类中的所有曲面具有相同的不变量，所有等价类构成的抽象空间被称为是相应变换群的模空间。主要的变换群是拓扑同胚群、共形变换群、等距变换群和中的刚体变换群，

这些群构成嵌套子群序列，相应的理论体系为

不变量也层层递增。

曲面间的拓扑同胚就是存在连续双射，，并且逆映射也是连续映射。曲面拓扑不变量包括可定向性、亏格和边界个数。曲面可定向性可以理解为存在一个三角剖分，每个三角形的顶点选择一个排列，使得如果两个三角形共享一条边，则两个三角形的顶点排列限制在这条边上恰好相反。如果这样的三角剖分不存在，则曲面是不可定向的。所谓的亏格就是曲面环柄的个数，也可以理解为我们沿着环路切割曲面，至多切割多少条，使得曲面依然是连通的，这个条数就是亏格的两倍。紧曲面的每条边界都是一条环路，这种环路的条数即是曲面的边界数目。由此，曲面的全系拓扑不变量为，即可定向性、亏格和边界数。从代数拓扑角度而言，曲面可以表达为单纯复形，（三角网格），曲面拓扑的不变量可以表达为曲面基本群，单纯下同调群和单纯上同调群；从微分拓扑角度而言，曲面拓扑不变量可以表达为de Rham上同调群；从黎曼几何角度而言，曲面拓扑不变量可以表达为调和微分形式群；从黎曼面理论角度而言，可以考察黎曼面上全纯微分群，等等。这些群基底的计算，在计算共形几何课程中都有详尽介绍。

图1. 曲面的亏格。

当我们考虑曲面在三维背景空间中的嵌入时，事情变得非常复杂。这时，我们可以挑选一组典范同调群基底。一张封闭曲面将分成两个连通分支，体积有限的分支被称为是内部，体积无限的分支被称为是外部。一条环路如果在内部同调于零，在外部同调非零，则环路被称为是环柄圈；反之，一条环路如果在外部同调于零，在内部同调非零，则环路被称为是隧道圈。存在唯一的一组环柄圈和隧道圈，构成曲面同调群的基底。环柄群和隧道圈可以通过持续同调方法计算出来。如果，一张曲面可以在三维空间中光滑形变到另外一张曲面，并且形变过程中允许出现自相交，这时我们说这两张曲面光滑同伦。假设是拓扑同胚，的基本群基底是，的对应基底是。每一条曲面上的环路都诱导一个自然的标架场：对于任意一点，是曲线的单位切向量，是曲面的法向量，。沿着走一圈回到原点，标架场在中也走了一圈，我们得到一个所谓的自旋同态。我们知道, 被称为是的自旋。如果两张曲面光滑同伦，当且仅当。如果一张曲面可以在三维空间中连续形变到另外一张曲面，并且形变过程中不允许出现自相交，则这两张曲面同痕。同痕等价非常复杂，实际上它包含了扭结理论。判定两个扭结同痕的一种方法是考察他们在中的补空间的基本群，如果两个基本群同构，则扭结同痕。但是，判定两个非Abel群同构，本质上是NP难问题。另外一种思路是为它们的补空间配上标准度量，例如双曲度量，如果补空间等距，则扭结同痕；也可以考察补空间的双曲体积，如果体积相同，则两个扭结非常可能是同痕。从实际应用讲，最为有效的方法是计算Jones多项式，然后比较两个多项式。

对于拓扑等价的曲面，我们可以再用共形变换群来进一步区分。一个微分同胚被称为是共形映射，如果存在函数，满足

直观上讲，对于上的任意两条相交曲线相交于点，曲线在点的切向量交角为，其像相交于点，交角也是，即映射保持角度不变（保角）。共形几何距离人们日常经验较远，不容易建立直觉，但是却决定了很多物理现象。例如曲面在热力平衡态温度的分布，电磁稳衡态电势的分布，曲面的等效电阻等等，都是由其共形结构所决定。依据共形结构分类，可以将复杂拓扑曲面分得非常细致。

图2. 曲面共形不变量。

两张曲面彼此共形等价，当且仅当它们具有相同的共形不变量。曲面的共形不变量有多种计算方法，比如周期矩阵。所有零亏格的可定向度量曲面都和单位球面共形等价，因此从共形结构而言，无法直接区分。对于亏格的封闭度量曲面，我们可以计算基本群的基底,和 全纯微分群的基底, 构造周期矩阵

适当选取基本群的基底，则曲面共形等价当且仅当它们的归一化周期矩阵彼此相等。这里，计算全纯微分需要进行Hodge分解，等价于求解曲面上的Poisson方程，计算共形几何课程中有详细解释。

图3. 曲面单值化。

更为普适的计算共形不变量的方法来自于单值化定理。对于任意紧可定向度量曲面，我们可以找到函数，使得度量诱导常值高斯曲率，常数为中的一个，这等价于求解 Yamabe方程：

这里是Gauss曲率，是目标曲率，是未知共形因子函数。Yamabe方程强烈非线性，传统的有限元方法对此无能为力，目前只有Ricci流方法可以求解，

Ricci流是几何分析的经典方法，曾经用于证明Poincare猜想。Ricci流本身是某个能量的梯度流，可以用凸优化计算。计算共形几何课程中，我们给出了离散曲面Ricci流详细的理论证明和算法描述。假设曲面亏格，曲面的万有覆叠空间为，投影映射为, 万有覆叠空间的甲板映射是保持投影映射不变的自同胚。所有的甲板映射构成一个群，与曲面的基本群同构。设曲面的单值化度量为双曲度量，Gauss曲率为，我们将曲面的万有复叠空间配上双曲度量，将其等价嵌入在双曲平面上，这时候万有覆叠空间的甲板映射群是双曲平面等距变换群的子群，被称为是Fuchs群。假设曲面基本群为

则对应的Fuchs群为

这里都是默比乌斯变换，

这里每个默比乌斯变换需要3个参数表达，有一个限制 , 同时对于任意的默比乌斯变换，构成Fuchs群的等价表示，因此对于亏格为的封闭曲面，其共形不变量需要个参数。对于紧曲面带有边界，它共形等价于一个常曲率曲面挖去几个测地圆，其表示为Fuchs群生成元，加上测地圆的圆心和半径。

任给度量曲面，任给曲面上一点，存在一个邻域，在其上可以取等温参数，使得黎曼度量表示为。这样的等温参数坐标卡构成的图册被称为是曲面的共形图册，也就曲面的共形结构。具有共形结构的曲面被称为是黎曼面。任给两张黎曼面和，可微映射具有局部表示, 映射满足所谓的Beltrami方程：

这里被称为是Beltrami微分，其模表征了映射带来的共形结构的畸变。最小者被称为是Teichmuller映射。经典的拟共形几何理论断言Teichmuller映射的存在唯一性。

固定曲面拓扑，如果我们将每个共形等价类视为一个点，所有的共形等价类构成的抽象空间被称为是Teichmuller空间，其维数为, 拓扑是单连通拓扑圆盘。这个空间中的任意一点是一张黎曼面，两点之间存在Teichmuller映射，Teichmuller映射的Beltrami微分的模被称为是两点之间的Teichmuller距离。这意味着Teichmuller空间具有黎曼度量，我们可以测量不同曲面之间的距离。Teichmuller映射的计算强烈非线性，目前并不普遍。Teichmuller空间是否可以作为具有实效的形状空间，目前依然在探索过程之中。

共形等价的曲面可以再用等距变换来区分。假如是等距映射，则拉回度量等于初始度量

对于任意点对，连接它们的测地线为，则是连接和的测地线，并且长度相等。对于任意的区域，面积相等。Gauss曲率由曲面黎曼度量所决定，因此对应点处的Gauss曲率相等。曲面的Laplace-Beltrami算子为，其特征根和特征函数为：

曲面的谱为，等距则谱相同。曲面的热核为

曲面等距，当且仅当它们的热核相等。这意味着等距的曲面上，热扩散过程相同等等。

假如是一张黎曼面，（若的亏格，则可以表示成）,其黎曼度量可以表示成单值化度量乘以共形因子，因此黎曼度量被函数所表示。等价地，固定共形结构，曲面的黎曼度量和Gauss曲率相互决定。

等距的曲面在中的嵌入可能并不相同，它们可以进一步被刚体变换群来分类。如果两张嵌入在中的曲面可以通过旋转和平移重合，则我们称它们彼此等价。经典的曲面微分几何理论断言，等距曲面如果平均曲率相等，边界条件相同，则它们彼此相差一个刚体变换。这时，平均曲率和共形因子彼此并不独立，而是需要满足Gauss-Codazzi相容性方程。

曲面间的Hausdorff距离定义如下：我们将第一张曲面沿着法向量的正负方向加厚，形成壳状结构，以包纳第二张曲面，所得最小厚度；同样，我们将第二张曲面沿着法向量的正负方向加厚，形成壳状结构，以包纳第一张曲面，所得最小厚度；这两个最小厚度的最大者被称为是两张曲面间的Hausdorff距离。度量曲面间的Gromov-Hausdorff距离是考察所有可能的曲面等距嵌入，然后取Hausdorff距离最小者。依据几何逼近理论，Hausdorff距离是非常弱的一种度量，我们可以构造一系列离散曲面，Hausdorff距离收敛到一张光滑曲面，但是曲面面积元、Laplace-Beltrai算子、测地线、Gauss曲率、平均曲率均不收敛。因此，Hausdorff距离并不是一个严密的曲面度量。这时我们要考虑曲面的单位法丛（normal cycle）之间Hausdorff距离，在这个度量下收敛可以保证各种曲率测度收敛、黎曼度量收敛。

至此，我们可以写下曲面的所有不变量，同时也是曲面的完全描述：(可定向性，亏格，边界数)，（Fuchs群的生成元，测地圆心和半径），（共形因子或者Gauss曲率），（平均曲率）。

当然，数学描述与人类的直观经验并不完全重合，拓扑几何理论能够达到直观经验无法到达的深度和广度，但是并不符合人类的心理预期。如何贴近应用场景，需要商业上的大胆想象和工程上的艰苦努力。