等几何分析与黎曼-罗赫定理

EE2024年春季开学，很多年轻人来访问笔者，探讨未来的研究方向；很多学术界、工业界的朋友们也和笔者探讨技术发展趋势，大家对于CAD/CAE领域的等几何分析 IGA（isogeometric anylasis）非常感兴趣。等几何分析目前被视作CAE领域中最具有革命性的突破，但是具有本质的困难。笔者团队认为，复几何中的黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch）对于解决等几何分析中的核心困难将会起到决定性的作用。长期以来，黎曼-罗赫被视为抽象数学中的美学代表，我们欣喜地发现由于等几何分析的崛起，这一纯粹优雅的理论有望进入工程领域，从而实现美学价值和实用价值的统一。这里笔者大致解释一下两者之间的内在联系，探讨一下黎曼-罗赫理论对CAD/CAE领域发展的潜在影响。

计算机辅助设计（Computer Aided Design）简称CAD起源于1970年代，核心任务是用计算机来表达几何曲面，帮助工程设计人员设计各种工业产品。最早由法国雷诺汽车公司的贝塞尔发明了贝塞尔曲线（Bezier Spline）, 后来人们将其推广为B-样条（B-Spline）曲线和曲面, 目前非均匀有理B-样条曲面成为工业标准，2000年代，Tom Sederberg博士进一步推广为T-样条曲面。

图1. B-样条基函数。

图2. B-样条曲线。

B-样条曲线的经典定义如下：给定参数直线上的节点向量，阶具有个控制顶点的B-样条曲线定义为

这里为控制点，被称为样条基函数。所有的样条基函数构成单位分解，即对于如意的参数,

同时每个基函数的支集是紧集。B-样条曲线可以被视为是控制点的某种加权平均。这里B-样条基函数是递归定义的，递归基为

递归关系为

图1显示了B-样条的基函数，图2显示了B-样条曲线。更为现代的讲法是所谓的“开花”理论（Blossom）。给定一个单元阶多项式

存在一个元，对称，多仿射多项式被称为是的开花(blossom)，或者极形式(polar form)

满足

这里对称意味着自变量的任意一个排列不改变多项式，

多仿射意味着

阶B-样条曲线的开花是，给定节点向量，那么控制顶点实际上是开花

图3. B-样条的de Boor求值算法。

B-样条的求值de Boor算法是基于开花的各种性质得到的递归算法，如图3所示，其中第一步

样条曲线的张量积就得到样条曲面：

图4显示了一张样条曲面，我们看到和方向的节点向量构成了四边形网格。

为了表达更加复杂的形状，例如标准圆，人们将多项式样条曲线、曲面推广到有理样条曲线曲面，最为常见的是NURBS （non-uniform rational B-Spline surface）, 每个控制点增加了一个权重因子 ，

在实际应用中，如果曲面的几何细节比较多，我们往往需要将样条曲面细化，这时需要添加节点和控制点，同时保持曲线、曲面形状不变。

图5. B-样条添加节点。

我们可以从开花角度来理解细化节点，假设初始节点向量为, 我们在和之间添加新的节点，得到新的节点向量

由新的节点向量，我们得到新添加的控制点,

因为开花没有改变，因此B-样条曲线形状没有改变。图5显示了B-样条曲线的节点细化。

图6. T-样条曲面。

在传统的NURBS上，节点细化是全局的，即我们在一处添加节点，都需要保持节点构成四边形网格，因此需要沿着曲面上的一条曲线添加节点。很多时候，我们只希望局部改变NURBS的节点结构，不希望影响全局。Sederberg提出的T-样条就是为了解决这一矛盾，T-样条允许用户局部添加节点，所有的节点构成了曲面上的T-网格结构，如图6所示。

图7. 裁剪样条。

图7显示了用裁剪样条（trimmed-spline）曲面构成的几何模型。所谓裁剪样条曲面就是在传统的样条曲面片上，抠掉一些孔洞，这些孔洞的边缘在参数域上用样条曲线来描述。工程应用中的CAD模型，大量使用裁剪样条，但是裁剪样条无法适用于等几何分析，是等几何分析直接推广的障碍之一。

几乎所有的物理定律都是由偏微分方程来描述。各种物理现象的数值模拟等价于在几何模型上求解各种偏微分方程。计算机辅助工程 CAE（Computer Aided Engineering）的核心就是在几何体上进行多物理场数值模拟。1940年代由克朗（Courant）等应用数学家发展起来的有限元方法（Finite Element Method）是CAE中最为普遍的方法，我国的数学家冯康也独立地奠定了有限元的理论基础。我们以泊松方程为例，简介最为常用的伽辽金（Galerkin）方法。考察欧氏空间中的热传导方程：求二阶光滑函数, ，满足狄利克雷边界条件：

首先，我们将偏微分方程的强形式转化为弱形式，令是具有紧支集的光滑函数，我们称之为测试函数，乘以泊松方程两侧，然后积分，我们得到

由分部积分，并且在边界上测试函数，

由此得到偏微分方程的弱形式，对于任意测试函数，

定义双线性泛函

和线性泛函

泊松方程的弱形式表示为求函数，，

弱形式只需要未知函数具有一阶导数，而泊松方程的强解需要二阶可导，弱解降低了光滑性的要求。

伽辽金（Galerkin）方法是用有限维的函数空间来逼近原函数空间，

这里是离散函数空间的基函数，具有紧支集。我们用基函数的线性组合来逼近未知函数

也可以用这些基函数作为测试函数，从而得到线性方程，

如此得到线性方程组：

这里被称为是刚度矩阵，对称正定，是未知函数的控制点，。由此线性椭圆型泊松方程转化成线性方程组。

图7. 传统有限元方法是基于三角剖分。

如图7所示，传统的有限元方法是将几何体进行三角剖分，然后在三角剖分上建立基函数。例如，我们有一个四面体网格，考察其中一个四面体，，其顶点为，我们定义重心坐标,设，那么

那么顶点对应的基函数限制在上，就是

由于每个基函数的支集都是定义在相邻的四面体上，因此刚度矩阵本身是稀疏的。有限元算法中，我们在每个单元（四面体）上计算刚度矩阵，然后再组装成整体的刚度矩阵。

我们看到传统的CAD工业中，所有的几何体都被表示成NURBS曲面；而在传统的CAE工业中，几何体被表示为网格剖分，很多时候是三角剖分。将CAD模型转换成三角剖分是整个数字模拟仿真流程中最为耗时、耗费计算资源的步骤，一般占所有计算时间的以上。同时，网格离散会带来几何误差，这是影响仿真问题精度的一个关键因素。

2005年，Tom Hughes博士提出了等几何分析的思想（isogeometric analysis），核心是采用统一的样条语言来表达几何形状和物理场：利用平面NURBS参数曲面或者体NURBS参数体积作为计算域，计算单元为节点区间对应的曲面单元或者体单元；以NURBS基函数作为物理场的基函数（形函数），以控制顶点的物理数学分量作为未知变量。这样，形状几何与分析几何在同一样条空间，避免了数据交换；在精确CAD几何上进行仿真计算，避免了几何离散误差；在同样自由度下，达到较高计算精度，或者在同样的精度下，需要较少的自由度。同时，物理仿真保持了光滑性。从工程角度而言，等几何分析与传统的有限元方法兼容，等几何分析可以集成到现有的有限元环境之中。

图8. 传统的汽车B-pillar模型用大量的裁剪曲面，无法应用于等几何分析。

虽然等几何分析具有很多传统方法无法比拟的优点，但是等几何分析并没有被工业界广泛采纳，核心在于传统CAD工业中的样条曲面无法满足等几何分析的要求。传统NURBS大量应用裁剪样条，裁剪样条无法分解成规则单元，需要重新构造；传统NURBS缺乏水密性，存在大量缝隙，因此有很多弥补缝隙的碎片样条，需要融合成整片样条；最为致命的问题是传统CAD模型只表达了几何体的边界曲面，而等几何分析需要将整个实体的内部也表达成样条。

图9. 传统的CAD模型需要转化成满足等几何分析的样条曲面。

因此，将传统的CAD模型转换成满足等几何分析要求的样条需要曲面整体结构化四边形网格生成，和实体整体结构化六面体网格生成，而这两个问题是传统CAD和CAE领域中的开放问题，所需要的数学理论不同于传统CAD/CAE的理论基础。传统的CAE理论基础在于线性椭圆型偏微分方程理论、索伯列夫空间理论、变分原理等经典分析理论；传统的CAD理论在于多项式代数，例如贝珠定理，Grobner基，诺德理论，多项式环的理想理论；而整体样条构造需要流形的仿射结构理论等等。

曲面的整体NURBS表示（或者T-样条表示）的节点网格是曲面上的整体四边形网格（或者T-网格）。NURBS的两族等参曲线会得到曲面的整体四边形网格剖分。一般情形下，两族等参曲线应该在交点处相互垂直，每个四边形都接近平面正方形（大小不同）。网格上拓扑度不等于4的顶点被称为是奇异点。那么，长期以来，寻找奇异点所满足的控制方程，一直是工程领域的基本问题之一。等几何分析的蓬勃发展，使得这一问题的解决变得更加迫切。

这一问题的突破是基于黎曼面理论（代数曲线理论）。在复分析中，一个复值函数被称为是解析的，如果对于任意一点，都存在一个邻域， 函数在此邻域中有洛朗展开：

函数在的阶记为，如果，那么是的极点，如果那么是的零点。解析函数被称为是全纯的，如果存在极点，则被称为是亚纯的。如果曲面存在一个开覆盖， 每个开集有局部复坐标，并且任意坐标变换函数

都是全纯的，并且其逆映射也是全纯的，那么图册被称为是一个共形图册，曲面被称为是一个黎曼面。物理世界中的所有曲面都是可定向的带有黎曼度量的曲面，可以证明都是黎曼面。

解析函数等复分析的概念都可以直接推广到黎曼面上，被称为是全纯（亚纯）函数，如果限制在每个局部坐标上都是全纯（亚纯）的。全纯函数模的对数是调和函数，而调和函数满足中值定理，即函数的极值不在内点取到。由此，如果黎曼面是紧的，那么全纯函数必为常数。但是紧黎曼面上的亚纯函数却非常丰富。任意两个亚纯函数的和、差、积和商还是亚纯函数，因此一个黎曼面上的所有亚纯函数构成一个域。如果两个黎曼面上的亚纯函数域代数同构，则两个黎曼面作为复流形同构。全纯微分和亚纯微分也可以推广到黎曼面上，令为一个复微分形式，如果在每一个局部坐标上 ,, 在另外的局部坐标上

如果是全纯（亚纯）的, 那么被称为是全纯（亚纯）微分。所有全纯微分的空间记为，所有的亚纯微分空间记为。

图10. 黎曼面上的全纯二次微分。

亏格为黎曼面的基本群的基底记为，所有全纯微分形式的基底为， 我们定义个向量

由黎曼双线性关系，我们得到生成非退化的格子,黎曼面的Jacobi簇定义为

阿贝尔-雅克比（Abel-Jacobi）映射定义为

图11. 亏格为一的黎曼面的Abel-Jacobi映射。

黎曼面上的除子是有限个离散点的整数线性组合，，除子的度定义为。给定一个亚纯函数，其除子被称为是主除子（principle divisor），定义为

阿贝尔（Abel）定理断言，一个除子是主除子，当且仅当

给定一个除子，我们定义线性空间：所有除子大于等于的亚纯函数构成的空间

类似的，所有除子大于等于的亚纯微分构成的空间

黎曼-罗赫（Riemann-Roch）定理 断言这两个线性空间维数之差与黎曼面拓扑之间的关系：

Abel定理判定是否存在一个亚纯函数以给定的为除子；黎曼-罗赫定理（RR 定理）推断满足大于等于的亚纯函数空间有多少维。

等几何分析需要全局水密的样条表示，这归结为曲面整体结构化四边形网格。构造四边形网格的关键在于确定奇异点的位置和指标。数十年来，奇异点的确定都是严重依赖于工程师的手工输入。寻找奇异点的控制方程（governing equation）是一个基本的理论问题。

图12. 曲面的结构化四边形网格（T-网格）奇异点满足Abel定理。

假设是物理世界中的一张曲面，具有欧氏度量诱导的黎曼度量。假设是上的四边形网格（或者T-网格），的两族格线彼此垂直，每个面接近正方形。我们为每个面建立一个局部复坐标，局部建立亚纯微分，那么可以证明

是整体定义的亚纯四次微分。我们任意选择一个全纯微分形式，那么

是一个亚纯函数，其除子是主除子，满足阿贝尔定理

这给出了曲面结构化网格奇异点的控制方程，这里网格包含四边形网格和T-网格。如果用户给定的奇异点构型不满足Abel定理，算法可以优化奇异点的位置，以满足定理，然后应用Ricci流计算平直度量，将所有曲率集中在奇异点上，再在平直度量上构造整体结构化网格。

进一步，如果给定部分奇异点的位置和指标，记为，我们可以用黎曼-罗赫定理来判断有多少亚纯函数满足，并且构造这个解空间的基底，从而构造满足特定条件的四边形网格（T-网格）。我们也可以在这个解空间中进行优化，挑选符合工程要求的最优网格，从而为等几何分析提供合格的样条曲面。

黎曼-罗赫定理是黎曼面理论（代数曲线）的中心定理，它本质上是一个指标定理，联系了分析（亚纯函数、亚纯微分空间）和拓扑（亏格）。从现代观点来看，给定除子，我们可以构造一个全纯线丛，这个线丛的局部亚纯截面构成层（sheaf），局部截面拼成全局截面的障碍可以用层的Cech上同调来描述，Cech上同调群维数的交错和是的欧拉示性数，黎曼-罗赫定理本质上是描述了全纯线丛的欧拉示性数。

等几何分析统一了CAD和CAE领域的数据表示，减少了计算误差，提高了效率，是近些年来CAD/CAE领域的最具革命性的发明。但是传统的CAD模型无法满足等几何分析的要求。为了满足等几何分析的要求，结构化四边形网格和六面体网格成为技术发展的瓶颈。曲面结构化网格的理论基础是代数曲线的阿贝尔-雅克比理论和黎曼-罗赫理论。

黎曼-罗赫定理一直是抽象数学纯粹而优雅的代表，没有想到这一定理居然为CAD/CAE领域的等几何分析提供了强大的计算工具，描绘了满足特定条件的结构化网格（T-网格）解空间的维数。我们衷心希望这一简洁而优美的定理能够在工业领域中大放异彩，真正实现美学价值和实用价值的高度和谐统一。