现代微分几何在CAE工业中的潜在应用

近期，经过Cadence全球副总裁兼多物理场仿真事业部总经理顾鑫先生，多物理系统分析研发总监吕传林先生的引荐，笔者有幸访问了多家CAE领域的翘楚：美国德州Fort Worth的Pointwise，希腊Thessaloniki的BETA CAE和比利时Brussels的NUMECA，Poitnwise专注于航空领域，为波音、洛克希德马丁、诺斯罗普·格鲁曼等公司设计的飞机进行模拟仿真；BETA CAE深耕汽车工业，服务于奔驰、宝马、比亚迪等公司；NUMECA在涡轮行业久负盛名。通过实地考察和当面交流，笔者深入了解了CAE领域几何处理的前沿与发展方向，对于CAE领域中现代微分几何的潜在价值感触颇深。

德州的Pointwise

德州以牛仔文化而知名，德州的文化象征包括孤星、长角牛和Tenjano音乐等等。UT Austin以长角牛为校徽，霸气十足。当年笔者初次访问UT Austin，误以为长角牛和独角兽类似，是某种神话传说，直至游历了Fort Worth的牛仔小镇（Stock yard），亲眼目睹了德克萨斯长角牛游行才大受震撼，信以为真。据说长角牛由西班牙殖民者引入美洲，在多年的战乱中逐渐沦为野生品种，与当地野牛混交，为了抵抗酷暑和野兽，在500多年间进化成一个特有品种。成年公牛角长达身长的四分之三以上，已经丧失了作为搏击武器的功能，只保留了生殖竞争中的美学价值。这从侧面反映了这一品质在进化过程中所经历过的生存压力和异化，令笔者联想到学术界的内卷。德州烤肉也天下闻名，特有的烤制技术令牛肉保持鲜美多汁，而又价格低廉，笔者觉得其内在品质与纽约牛排不相伯仲。

图1. 德克萨斯长角牛。（Internet）

据说Fort Worth是美国航空制造业中心之一，也是Pointwise的总部所在地。2025年的国际网格大会就在这里召开。笔者再次见到了很多学术界网格生成领域的老朋友，如Tetgen的作者斯杭博士、雷娜教授、Jessica Zhang教授，王文平教授、郭晓虎教授等等，特别是佛罗里达大学的Jorg Peter教授。Peter教授是CAD领域开山鼻祖de Boor的亲传弟子，在计算机辅助几何设计领域泰斗级人物。笔者非常钦佩Jorg，因为他从来不追逐风潮，数十年如一日地攻克CAD领域的核心问题：构造拓扑复杂曲面上的样条。他的文章不多，各种发表指标平淡无奇，但却屡获领域大奖，他创建的样条曲面奇异点算法早已被广泛应用，成为标准。笔者一直认为Jorg才是真正的学者，能够摒弃虚荣，专注解决最为艰难的核心问题。每次见面，他都和我说他的理想是用二次多项式曲面构造复杂曲面上的曲率光滑样条。很多年前，笔者曾经和他深入探讨过这一问题。笔者认为传统的样条理论（即所谓的开花blossom理论）是基于仿射几何不变量，如果样条理论能够在曲面上直接推广，那么曲面需要具有所谓的仿射结构：假设是一张拓扑曲面，具有一个开覆盖，为每个开集建立局部坐标卡，如果，那么存在局部坐标变换

但是，有陈类理论一般的封闭曲面并不具有整体的仿射结构，这成为整个CAD、CAE领域的根本性困难。多年以前，Jorg并不信服笔者的观点，他认为CAD领域并不需要过于抽象的现代数学理论，只要一些基本的多项式代数和局部微分几何就可以。但是，经过多年的尝试，Jorg同意了笔者的关于整体样条与仿射结构的观点，并且给出了一个初等证明。但是Jorg觉得他的证明并不严密，希望采用笔者的证明，但是他查阅了很多经典定义，也问了ChatGPT，一直无法透彻理解联络的直观意义和笔者用联络给出的证明。我们将矢量场的方向导数推广到流形，需要引入平行移动的概念，从而定义协变微分（covariant differentiation），在局部坐标下的表示需要用到Christoffel符号：给定切矢量场，，协变微分为

由此得到Christoffel符号的局部坐标变换为：

这里右侧出现了局部坐标的二阶导数。假如曲面具有仿射结构，那么右侧第二项消失，我们可以整体定义特殊的联络。黎曼曲率张量表示为

等价的

这里是黎曼度量张量，Gauss曲率，由为零推出，由Gauss-Bonnet定理

我们得到曲面的欧拉示性数为零，如果曲面封闭，则亏格为一。这里证明的关键在于用仿射图册构造平坦联络，得到曲面拓扑。而抽象定义联络的方法远离工程实践经验。

目前曲面样条构造是通过张量积的方法将曲线样条推广，例如Bezier曲面的定义为

这需要构造曲面整体的四边形网格剖分。而曲面整体四边形网格剖分的理论基础一直没有建立起来，直至最近，笔者团队指出曲面四边形网格剖分等价于黎曼面上的特定全纯线丛的整体亚纯截影，其奇异点正是全纯线丛的示性类，满足代数几何中的复杂方程。即曲面四边形网格等价于全纯线丛的某个整体亚纯截影，那么对于黎曼面上全纯余切丛的亚纯截影，都成立如下等式：

这里是从黎曼面到雅可比簇的阿贝尔-雅可比映射。Jorg研究了一辈子样条曲面奇异点附近的光滑构造，这次和笔者深入探讨了阿贝尔理论的直观几何意义。与抽象的联络类似，全纯线丛的示性类也远离直觉，虽然它无时不刻地在CAD应用中起着决定性作用，但是通过工程师设计人员日常经验的积累，或许能够建立起某些独门诀窍，但是无法达到严格的理论高度。在与Pointwise的founder深入交流的时候，他们展现的核心技术只能生成四边形占优的混合网格，总是在曲面内部残留很少的几片三角形，无法达到整体四边形网格。因此他们求解器的设计必须应对混合网格的特殊情况，从而增加了算法设计的负担，降低了效率。而这正是因为他们只有局部延拓算法，没有掌握整体的示性类理论。

Pointwise的工程师们告诉笔者，飞机的设计生产周期长达十年左右，需要大量的模拟仿真以取代风洞等物理实验。在计算流体动力学中，虽然有各种算法可以基于非结构化网格，但是结构化网格会提高效率，降低误差。他们目前只有非结构化网格和混合网格的生成技术，无法达到曲面和实体的全局结构化生成。他们非常渴望能够自动生成结构化网格。

希腊的BETA CAE

塞萨洛尼基（Thessaloniki）是濒临爱琴海的港口城市，是希腊第二大经济、文化中心，以及东南欧主要的交通枢纽。它以拥有大量的拜占庭建筑杰作以及一些重要的奥斯曼帝国、犹太人建筑而知名。塞萨洛尼基曾是古代馬其頓王国（macedon）的重要城市，其名字来自亚历山大大帝同父异母的妹妹Thessalonike, 建立于公元前315年。马其顿王国衰落以后，塞萨洛尼基於西元前148年成为罗马共和国新设立的马其顿行省的治所，并于西元前41年成为罗马共和国的自由城市。至395年，罗马帝国分为东西两部（京城分别在君士坦丁堡和罗马），塞萨洛尼基处于东罗马帝国控制下，其重要性仅次于首都君士坦丁堡，是拜占庭最重要的两个商业中心之一。1387年，奥斯曼帝国占领了塞萨洛尼基，但在1402年与帖木儿帝国的安卡拉战役后失去了该城。不过拜占庭帝国在无法抵挡奥斯曼帝国的情势下，被迫将塞萨洛尼基出售给威尼斯共和国。1430年3月29日，奥斯曼帝国再度攻占了塞萨洛尼基并且维持统治直到1912年。1912年11月9日，在第一次巴尔干战争中，塞萨洛尼基的奥斯曼帝国驻军向希腊军队投降。次日，保加利亚军队到达，声称该市属于保加利亚，于是进入共管时期。1913年3月18日，希腊国王乔治一世在塞萨洛尼基被刺。奥斯曼帝国被击败，过去的盟国之间由于领土归属争议，立刻又爆发了第二次巴尔干战争。1913年8月10日签订的布加勒斯特条约最终确定了塞萨洛尼基的归属。BETA CAE的Dimitris（几乎大多数的希腊男子都叫Dimitris）告诉笔者，塞萨洛尼基饱经沧桑，历史过于厚重，塞萨洛尼基之于希腊类似于台湾之于中国。

图2. 塞萨洛尼基的海滨（Internet）。

笔者漫步于塞萨洛尼基的海滨广场，天空微雨，周围的建筑都有希腊式的廊柱，侧壁上是伊斯兰风格的纹饰。街头艺人演奏着各种乐器，手风琴、长号、吉他，演唱着感伤的歌曲。几个小丑围着孩子们表演着各种杂耍。海边矗立着白色的碉堡，远眺北山上蜿蜒着古老的城墙。在公元前55年色雷斯人侵襲该城的郊區之後，塞萨洛尼基建立了城墙，城墙尽头的碉堡延伸至爱琴海之中。广场中有几座青铜雕像，描述一位妇女身背武器和食物去支援游击队抵抗土耳其侵略军。周围遍布着各色餐馆，主要是希腊本土风格的海鲜与土耳其遗风的烤肉。我们挑选了一家“十张桌子”的本地菜馆，品尝了当地知名的菜肴。希腊的饮食文化闻名遐迩，其海鲜更是天下冠绝。这里的海鲜食材非常新鲜，调味清淡，主要是自产的橄榄油，目的在于突出食材自身的鲜味。在塞萨洛尼基，笔者尝到了爱琴海中的各种鱼类和贝类，鱿鱼花枝，牡蛎海胆，还有别有风味的特殊海藻。这里的海鲜都没有经过冷冻处理，完美地保留了自然的味道。例如，笔者多年以来吃过的鱿鱼都是经过重油重盐烹饪的铁板烧、或者川辣火锅，只有质地没有味道。塞萨洛尼基的鱿鱼令笔者忆起童年的印象，体会了久违的自然鲜味。希腊的葡萄酒也是味道醇厚，回味绵长。有一款强烈阳光下培育的葡萄，其酿造的红葡萄酒非常甘甜。

塞萨洛尼基遍布着东罗马、拜占庭、奥斯曼等时期的历史遗迹。海滨广场附近就有前年东罗马的古建筑，巍然挺立，典型的罗马风格，红砖与石头交替垒砌而成，屋顶是典型的穹庐拱状结构，石砌的屋角夹杂着青铜板。路边经常遇到各种古迹，巍峨壮观的凯旋门，白色大理石浮雕经过千年的风化已经模糊不清；庞大的红砖东正教堂，在奥斯曼时期被改成清真寺，旁边修建了白色的宣礼塔，目前都已经荒废，淹没在历史洪流之中。市中心的圣索菲亚教堂，有着一千两百多年的历史，历经多次战乱与地震，一直完好如初。教堂内部的圣像非常古老，都是希腊人的面孔，绘制手法非常古老，都是文艺复兴前的艺术风格。教堂中陈列着金棺，很多希腊少女都虔诚的亲吻圣像与金棺。塞萨洛尼基也是基督教的早期中心。使徒保罗曾在第二次传道行程中在该城最大的犹太会堂讲道。保罗曾写过两封书信给塞萨洛尼基的基督徒团体，这就是新约圣经中的《帖撒罗尼迦前书》和《帖撒罗尼迦后书》（Epistle to the Thessalonians）。公元380年罗马帝国皇帝狄奥多西一世在此地颁布萨洛尼卡敕令，确立基督教为罗马帝国国教，并废止了古代奥运会等非基督教习俗。

在夜色阑珊中，笔者来到了国立亚里士多德大学。这里依山傍海，是亚里士多德传播思想文明火种的起源地。但是经历过经济危机的希腊依然萧条，亚里士多德大学的外观建筑和内在设备看上去比较古旧破败，四处遍布涂鸦，令人触目惊心。但是三十年前，这所大学中的两位机械教授，带领着他们的几个学生开始创业，历经艰险，建立了CAE领域中的一座丰碑，希腊国宝级公司BETA CAE。如今BETA CAE坐落在塞萨洛尼基的城郊，四周漫山遍野都是橄榄树，俯瞰着爱琴海，与奥林匹斯山遥海相望。公司目前有近五百多人，每年都从亚里士多德大学招收大量的毕业生。公司的大厅中摆放着飞机发动机、多种赛车骨架。笔者和BETA CAE的创始人与工程师们进行了深入的技术交流。BETA CAE的几何前处理技术非常强大，几乎世界上知名的汽车公司都使用他们的前处理工具ANSA，每年收入超过一亿美元。几何前处理主要包括“脏几何”处理与网格生成。

由于一般曲面没有仿射结构，经典的NURBS无法直接定义在复杂拓扑曲面之上。CAD设计人员只能分片设计，然后拼合。Jorg Peters教授曾经给笔者解释过，一般情形下，设计人员都使用所谓的裁剪样条来设计曲面，这需要计算两张样条曲面的交线。Jorg认为这种几何操作会带来本质误差，首先曲面交线具有代数阶数高达数百，但是工程上多用三次近似，带来误差；同时交线在两张样条曲面上的参数表示也都是用三次曲线来近似。因此，三条曲线都是具有误差的。更进一步，设计者都误认为设计软件中的几何算法自动给出了精确表示，因此设计过程中不会过于在意减少误差。如此设计的汽车、飞机等工业产品，看上去非常完整光滑；但是放大后再检查，不同NURBS曲面片之间都是犬牙交错，充满缝隙与交叠，从而被称为是脏几何。而在工业模拟仿真中，输入的模型需要满足水密性条件、切平面或者曲率连续性条件，如何修复脏几何，这在CAE工业中成为重要问题。BETA CAE经过几十年的积累，发展出强大的软件工具来让工程师进行手工修复。ANSA也具有强大的网格生成能力，其曲面三角网格和实体的四面体网格生成质量，堪称行业标准。笔者向他们介绍了我们的里奇流方法，这是目前唯一的算法能够根据曲率来设计黎曼度量，

里奇流可以将三维曲面保角地映射到平面区域，从而将三维几何问题转化为二维平面问题，例如通过平面的Delaunay三角剖分算法，我们可以生成曲面的三角网格。BETA CAE的研究团队一直在追踪笔者团队的学术研究工作，他们在8年前就购买了笔者的里奇流专著，并且一直在复制研究相应的算法。但是对于结构化网格，他们的技术也只能生成混合网格，无法生成全四边形的曲面网格。他们团队一直在研究笔者团队提出的四边形网格理论和算法，询问了很多关于全纯线丛示性类的问题。

笔者也向他们介绍了基于黎曼-罗赫定理的结构化网格生成理论和方法。复平面上的亚纯函数可以直接推广到黎曼面上，由其洛朗展开可以定义零极点及其阶数。亚纯微分也可以类似定义。所谓的除子就是黎曼面上有限个点的整系数线性组合，用于表达亚纯函数的零极点。给定一个除子，所有零极点落在中的亚纯函数构成一个线性空间，记为，所有零极点落在中的亚纯微分构成另外一个线性空间，记为，黎曼-罗赫定理断言

这里是曲面的亏格。这个定理可以判断特殊亚纯微分空间的维数。例如，所有奇异点满足特定条件的四边形网格构成空间的维数。这一理论容许我们根据应用来选择最优的四边形网格。

笔者在BETA CAE一位创始人的办公室中看到了Tom Hughes教授的三卷巨著“计算力学”，这位创始人也比较推崇Hughes教授创立的等几何分析方法（isogeometric analysis）。 Hughes本人多次公开表示，等几何分析方法的理论和工程算法相对完备，真正的瓶颈在于结构化六面体网格的生成。BETA CAE的多位技术总监都深以为然，一致认为六面体网格算法至关重要。学术界对此一直有争议：很多学派认为结构化六面体网格并无太大必要，非结构的四面体网格足够实用。同时，学术界每年都发表很多论文，关于六面体网格生成，但是都达不到工业界的实用要求。他们对于笔者团队基于曲面叶状结构理论开发了六面体网格的生成算法都充满兴趣，认为这一方向具有潜力。同时，他们也开始探索拓扑优化方向，将这种技术应用于汽车减重。他们主要是基于传统的SIMP方法，通过优化材料分布密度来达到设计目的，但是如此得到的结果没有清晰的边界曲面，需要进行去噪处理，特别是他们需要网格到样条曲面的转化技术，而这需要曲面整体结构化四边形网格生成，目前他们的技术无法达到这一点。

BETA CAE具有非常多的长期稳定客户。他们向笔者介绍说汽车设计生产周期大概4年，每一个新车型都是基于老车型局部调整优化而来，为了保证安全性，每一步迭代都相对保守，每一次改进都需要大量的模拟仿真。新车型需要通过非常苛刻的标准验证，实物实验非常昂贵，需要将数辆真车损毁，因此数值仿真必不可少。为此每一家车企都培养了大量的仿真工程师，而仿真软件的各种参数设计，工况设计都非常复杂，需要多年的积累，因此不到万不得已，车企不会轻易更好仿真软件。而每家车企的ANSA使用费用都达数十万美元，因此BETA的营收非常稳定。

BETA CAE的创始人都来自亚里士多德大学的机械系，彼此都是师生关系。多年的创业生涯，使得他们团结一致，共克难关，结下了深厚的友谊。经常这个Dimitris是另一个Dimitris的伴郎，另一个Dimitris是这个Dimitris女儿的教父。如今他们取得了巨大的商业成功，每个founder都是身价过亿，建立了希腊国宝级的企业，成为一代传奇。

布鲁塞尔的NUMECA

图3. 布鲁塞尔的花季。

比利时的首都布鲁塞尔是一个国际性的城市，几乎这里的所有居民都会说三种语言：法语、荷兰语和英语，文化也非常多元。布鲁塞尔的城市建筑融汇了不同时代不同国家的风格，琳琅满目，鳞次栉比，非常具有特色。城区中有着古老的有轨电车，两侧各色风格的古老建筑，非常像波士顿的灯塔老街。布鲁塞尔的天气相对寒冷，经常阴霾密布，雨雾迷蒙。皇家狩猎场中各种植被苍翠欲滴，古木高耸入云。这时恰逢春暖花开，路边的樱花、玉兰怒放，整个城市浸入花海。这里的食物也非常国际化，餐馆中有法式的鹅肝，德国的牛肾（中文叫腰花），日本的鱼生，法式的生牛肉馅（tartare），比利时的云雀。布鲁塞尔的啤酒文化闻名遐迩，据说有一家酒吧有上千种品牌的啤酒，并且每家啤酒都配备专属的酒杯。品相最好的啤酒是修道院中酿造的啤酒，纯度是其他品牌的两倍以上，并且修士们只手工酿造出少量的啤酒，刚刚可以维持他们的生活，其质量是其他工业生产的啤酒所无法比拟。这里也有一种啤酒种类，原来殖民时代只运往印度，为了抗高温并且延长保鲜期，其啤酒花的用量是通常啤酒的两倍。笔者尝试了比利时非常著名的小矮人啤酒，的确味道醇厚。布鲁塞尔有家海鲜店，其招牌海鲜大烩非常有名。巨大的冰盘上摆满了各种贝类海虾，不同海域的牡蛎扇贝，贻贝海螺，蜆蛏龙虾。其中的北海灰虾是当地特产，而海红比渤海或者纽约的更加肥美。

NUMECA也是由一位涡轮专业的教授所创立，数十年来专攻涡轮领域的模拟仿真。很多航空公司采用他们的技术方案，年费都高达数十万美元。笔者和NUMECA的工程师们深入交流，他们对于很多问题有着深刻的见解和丰富的经验。学术界比较推崇Lattice Boltzman Method（LBM）方法来计算流体动力学（CFD），笔者询问他们的看法。他们认为目前LBM方法虽然号称善于处理流夜混合，但是计算效率较低，对于处理包含相变的复杂情形并不成熟。他们对于拓扑优化持保留态度，核心原因是涡轮叶片承受的应力非常大，目前的金属3D打印技术无法生产出满足强度的叶片，因此拓扑优化生成的设计方案无法制造出来。他们对于AI技术是否能够取得人类程序员也持保留态度，因为在涡轮模拟仿真领域，需要大量的物理直觉和数学基础，AI可以帮助初步预测计算结果，但是无法取代精确的模拟仿真。他们曾经写过多个版本的计算流体力学算法，开始是基于结构化六面体网格，后来是非结构化的网格，和混合网格。他们认为计算效率最高、精度最高的还是结构化网格，但是生成整体结构化网格依然是最为困难的问题，他们被迫退求其次用混合网格。同样的，他们的网格生成算法是基于空间八叉树分解，目前只有混合网格的生成算法，无法得到整体结构化网格。他们认为将初始带有脏几何的、基于裁剪NURBS的CAD模型转换成整体水密的CAD模型具有非常大的应用价值；将蜷曲的曲面展开的算法非常关键；全六面体网格的生成算法一直是涡轮模拟仿真行业的核心难题。笔者向他们介绍了基于里奇流的曲面网格生成，基于全纯线丛示性类的曲面四边形网格生成和基于曲面叶状结构的六面体网格生成方法都表示了浓厚的兴趣和合作愿望。

作为网格生成领域的圣杯问题，六面体网格生成具有本质的难度。虽然目前有非常多的经验性算法，但是其严格的理论基础依然没有建立起来。很多基本问题有待回答：例如六面体网格的奇异集合所满足的方程是什么？笔者认为近期低维拓扑所发展出来的一些理论和方法有助于更为透彻的理解这一问题。例如，瑟斯顿曾经提出虚拟哈肯猜想：双曲3-流形的有限重覆盖是哈肯的，即存在本质的二维曲面嵌入在3-流形内部。所谓的本质曲面满足如下条件：如果一条圈在曲面上不能缩成一个点，那么在3-流形内部也不能缩成一个点。双曲3-流形内部有很多浸入的本质曲面，虚拟哈肯猜想的要义在于存在3-流形的一个有限重的覆盖，将蜷曲的、有自相交的本质曲面展开成嵌入曲面。数学家们已经证明了虚拟哈肯猜想，其发展的理论和方法对于理解3-流形内部曲面的蜷曲和相交有着本质的帮助。

小结

感谢Cadence全球副总裁兼多物理场仿真事业部总经理顾鑫先生，多物理系统分析研发总监吕传林先生，为笔者提供如此难得的学习机会，得以深入了解CAE领域的工业前沿。Pointwise，BEAT CAE， NUMECA都植根于有限元的理论基础，得益于汽车、航空领域大发展的时代红利，也都在与时俱进地发展新方法、解决新挑战。这番游历使笔者进一步理解网格生成领域的核心困难，看到现代数学理论，特别是里奇流理论、全纯线丛示性类理论、3-流形拓扑理论对于CAE领域的潜在价值。讲这些理论应用于工程实际，依然需要长期艰苦的努力。在布鲁塞尔街头，笔者看到了比亚迪汽车。Pointwise，BETA CAE和NUMECA的工程师们都一致认为中国的汽车工业正在颠覆世界汽车行业，中国的CAE工业必将腾飞。时代洪流，势不可挡，未来可期！