圣杯问题与3-流形拓扑

当今世界上电子设计自动化（Electronic Design Automation -EDA) 领域被Cadence（楷登电子），Synopsys（新思科技）和Simens（西门子）三巨头长期垄断，其在芯片设计软件市场占比分别为百分之40，45和15。在过去几年间，这些国际巨头并购了几乎所有物理仿真领域的知名公司，几乎将工业软件的CAE领域，变成了EDA的子领域。

推动这场世纪革命的是一位EDA领域的华裔传奇人物，Cadence全球副总裁：顾鑫（Ben Gu）先生。从2019年开始，Ben主导了Cadence从EDA向系统自动化的转型，推动了Cadence对于多家工业仿真软件公司的全资收购，包括美国的Pointwise，比利时的Numeca，美国的Cascade和希腊的Beta CAE。Ben力主推动了Cadence以12亿4千万美元收购Beta CAE，随后在EDA领域引发了并购狂潮。

Simens以100亿美元完成对工业仿真和分析软件提供商Altair的并购，成为工业软件史上第二大并购案。Synopsys以350亿美元全资收购工业仿真软件领域的巨擘Ansys，历时18个月，横跨8大监管辖区，创下工业软件史上最大并购金额纪录。目前，并购商战尘埃落定，EDA江湖共同见识到了顾鑫先生的高瞻远瞩与杀伐决断，业界公认他为EDA与CAE技术融合的奠基人。

Cadence，Synopsys和Simens这些EDA国际巨头通过并购快速获取自身缺失的关键技术，力求覆盖从芯片到系统的全栈解决方案，形成技术链条的闭环，从而在同一平台上打通芯片设计、验证和仿真的全部流程。Ben数十年在EDA多物理场仿真领域耕耘，深深掌握各个主要环节的技术关键和目前国际发展水平。多年的深度思考和广泛交流，使得他能够总结出EDA-CAE领域的各种技术瓶颈，并且对于每一个问题有着深刻而独到的真知灼见。他认为目前很多瓶颈问题的解决方案依赖于经验性的工程方法，用人力的堆积来弥补方法论的缺陷，对于问题的本质并没有认清；为了彻底解决EDA-CAE领域的核心问题，传统方法已经强弩之末，必须引入全新的思想和方法。因此，多年来他在推进工程方式的解决方案之时，也一直与EDA-CAE领域的很多学术领袖保持常年的合作关系，力图在学术界寻找革命性的理论和思想。近年来，与Ben合作的知名学者包括美国三院院士，等几何分析（isogeometric analysis）的创始人 Tom Hughes教授，斯坦福大学湍流中心创始主任、美国双院院士Parviz Moin教授，斯坦福大学工程学院机械工程系系主任Gianluca Laccarino教授，国际网格生成领域专家、长江讲席教授斯杭教授，国际网格生成领域专家、国家杰青大连理工大学雷娜教授等等。

图2. 离散曲面里奇流（Discrete Surface Ricci flow）是目前由高斯曲率来构造黎曼度量的唯一普适的计算方法。

笔者团队的计算共形几何、特别是离散里奇流（Ricci Flow）的工作（图2）引起了Ben的强烈兴趣。Ben邀请笔者到Cadence在德州奥斯汀的分部访问，深入交流探讨。同时也介绍学术界与工业界的国际顶级专家给笔者，进行学术交流，并且组织了多次会议，与Pointwise，Numeca和Beta CAE的一线技术骨干直接对话，展示他们的技术方案，探讨所面临的技术需求，迫切需要解决的困难等等。在过去的数年间，笔者和Ben的团队深入合作，深入学习了EDA-CAE领域的专业知识、目前国际主流的技术路线和以及核心算法。特别是2025年暑期，笔者带领博士生团队，直接驻扎在Cadence奥斯汀分部，与Ben和Cadence高级总监吕传林先生，夜以继日，废寝忘食，共同解决EDA-CAE领域的核心难题。

通过与国际顶级专家的思想碰撞和持续深入的调查分析，Ben和笔者达成共识，目前EDA-CAE领域的大量工程难题本质上可用一言以蔽之：核心困难源于整体几何和拓扑，而目前工业界只达到局部微分几何的水平。下面，我们通过几个常见的例子加以分析。

图3. 结冰机翼表面的四边形网格及NURBS表示（朱一鸣、王玥，陈雅正，蒲玉龙，陈富卫等）。

例如整个CAD（计算机辅助设计）领域，所有的曲面、实体都是用样条来表示，（即分片有理多项式）。所有的汽车、轮船、飞机的设计都是基于所谓的NURBS技术来自动拼接分片有理多项式，从而得到整体二阶光滑的曲面（图3）。在制造业发展的早期，工业界设计的曲面大多是平面区域，或者拓扑简单的曲面，NURBS技术展现了巨大的优势。但是发展到现代，工业设计的曲面拓扑愈发复杂，NURBS技术遇到巨大瓶颈。NURBS本质上是基于所谓的极形式理论（polar form）又称开花理论（blossom），而极形式是基于仿射几何不变量。因此，如果将NURBS理论直接从欧氏空间推广到一般流形，需要流形具有所谓的仿射结构，从而在流形上可以直接定义仿射几何。但是，由拓扑障碍理论（示性类理论），一般拓扑复杂曲面并没有全局的仿射结构，无法整体定义仿射几何，NURBS曲面必须引入奇异点或者奇异曲线。由此，我们看到局部几何方法与整体微分几何的内在矛盾。工程师们又发明了各种方法加以弥补，例如常见的裁剪NURBS方法（trimmed NURBS），就是将整体曲面分割成多个曲面片，每一片用NURBS表示，曲面片的边界用NURBS曲面的交线来表示。CAD领域的学术领袖Jorg Peters教授曾经公开阐明这一方法的弊端：两张NURBS曲面的交线需要表达3条代数曲线，3维空间中的曲线，曲线在第一张NURBS曲面的参数域上的表示，和曲线在第二张NURBS曲面的参数域上的表示。而这3种表示中没有一个是精确的，都是粗糙的逼近。由此，最终的曲面无法是整体水密的。而在物理仿真中，特别是在等几何分析中，我们需要几何曲面是整体水密的。nTopology的技术总裁 （前Simens Fellow）George Allen也公开声明：几十年的实践使得他确信目前的NURBS技术已经穷途末路，必将被更加整体的新方法所取代。既然整体仿射结构不存在，那么，问题归结为如何合理地选取奇异点或者奇异曲线。这其实归结为纤维丛（fiber bundle）的示性类理论（characteristic class）。

再如，物理定律的终极数学形式是偏微分方程。多物理场仿真问题本质上是在黎曼流形上求解线性和非线性偏微分方程。目前EDA-CAE领域中的绝大多数问题都是求解椭圆型线性偏微分方程，最后归结为有限元法（Finite Element Method）和有限体积法（Finite Volume Method）。所谓的有限元方法就是将曲面或者实体进行网格剖分，将偏微分方程变成弱解形式，再转化为求解大型稀疏线性方程问题。但是，很多复杂的物理问题和几何问题最后归结为强烈非线性的偏微分方程，传统的有限元方法力有不逮。比如复杂天线的设计问题等价于球面上的最优传输问题，最终归结为蒙日-安培方程（Monge-Ampere Equation）。这个问题的解决依赖于几何变分方法，求解过程中需要动态生成网格，而无法直接应用有限元方法。再如，复杂流形上的电磁现象仿真，需要求解张量偏微分方程，例如磁势等价于调和微分形式，需要将经典的有限元方法推广到外微分。从目前的技术发展水平来看，求解线性数值偏微分方程的方法相对成熟，真正的瓶颈在于几何处理，特别是网格生成。网格生成更加彰显了工程问题的全局拓扑和几何性质，传统有限元法对于网格生成帮助有限，需要更为现代和深刻的数学理论来加以解决。

在EDA-CAE领域中，曲面的网格剖分主要分成三角剖分（图4）和规则四边形剖分（图3），实体的网格剖分主要分成四面体剖分和规则六面体剖分（图5）。规则六面体网格生成，一直被称为是CAE领域中的圣杯问题。

图5. 机械零件的六面体网格剖分（朱一鸣，齐志辉，房思宇，陈雅正，蒲玉龙）。

尽管优势明显，但生成高质量的全六面体网格要比生成四面体网格困难得多。四面体网格自动剖分算法快速且稳健，而六面体网格通常需要人工干预、扫掠/映射等策略。近年来，很多新的算法被学者们发展出来，例如八叉树、多立方体、中心轴等，但是都没有达到工业界的要求。很多学者也对六面体网格生成的必要性提出了疑问。

图 6. 基于黎曼-罗赫理论得到的汽车白体的规则四边形网格剖分，用等几何分析方法求解汽车碰撞问题的仿真 （Kendrick Shepherd, Tom Hughes）。

Ben安排笔者和Beta CAE的CEO Dimitris Siskos和网格资深专家Dimitrios Zafeiropoulos对接。两个Dimitrios的观点非常明确：他们的广大欧洲汽车工业用户强烈需要六面体网格。Stanford大学的机械工程系主任Gianluca 也态度鲜明：圣杯问题是万众瞩目的焦点，其解决必将极大地推动EDA-CAE领域的发展。等几何分析之父Hughes教授也多次声明：等几何分析的瓶颈在于实体样条的建立，而这依赖于圣杯问题的解决。这些专家和学者向笔者解释了六面体网格的显著优势。在相同自由度数量下，六面体网格往往能得到更高精度的有限元解，特别是在涉及弯曲、不可压缩材料或近不可压缩弹性的情形。六面体单元对畸变更具抵抗力，而四面体容易生成“薄片（sliver）”，会显著降低精度和条件数。在结构化六面体网格中，可以用更少的单元达到与四面体相同的精度。在相同分辨率下，六面体网格所需单元数比四面体更少，从而减小系统规模。如果六面体单元与主应力方向或流线对齐，则可以进一步提升计算效率。六面体网格通常会生成更稀疏、更良态的刚度矩阵。在计算流体力学中，六面体网格天然适合边界层对齐，在流体流动和湍流建模中更精确。在材料力学中，六面体单元可与材料主方向对齐，更好地表示各向异性。在塑性与接触的大变形问题中，六面体元素能避免四面体常见的“锁死现象（locking）”。由此，在许多CAE工业领域（如汽车、航空航天、舰船），六面体网格因其可靠性、稳健性与认证标准而被广泛采用。六面体主导的网格是碰撞安全性、冲压成形等模拟的行业标准。总之，六面体网格在许多模拟任务（尤其是结构力学与流体力学）中能以更少的单元提供更高的精度、稳定性与效率。相比之下，四面体网格虽然更易生成，但往往需要大量单元才能达到相近的精度。

图 7. 人体骨骼的六面体网格生成 （郑晓朋，朱一鸣，齐志辉，王昱等）。

但是，六面体网格的生成之所以被称为是圣杯问题，核心原因在于其内在的难度。我们首先考察较为简单的2维问题，即曲面的四边形网格剖分问题。如图8所示，工业要求四边形网格的两族流线彼此垂直，网格大小相对均匀，奇异顶点尽量地少，保留特征曲线等等。

笔者团队用黎曼面的全纯线丛理论为曲面规则四边形网格剖分奠定了理论基础。本质上，曲面的四边形网格等价于黎曼面全纯余切丛的4次幂中的一个整体亚纯截影，四边形网格的奇异点等价于亚纯截影的除子，即全纯线丛的示性类，满足特定的代数几何方程。所有可能的四边形网格，即亚纯截影构成的空间由黎曼-罗赫定理所决定。

在每一个四边形内部连接对边中点，我们得到两条中线。不同的四边形中线连接起来，我们得到曲面上的封闭曲线。每条封闭曲线被称为是四边形网格的hyperplane，每一条hyperplane是一片叶子，彼此局部平行的叶子构成曲面的叶状结构。曲面上的亚纯截影诱导的四边形网格得到调和的叶状结构，如图9所示。构造调和叶状结构，计算亚纯截影的除子，计算亚纯微分都需要现代的整体微分几何与代数几何。

特别地，这些算法都依赖于特殊黎曼度量的构造。而迄今为止，有限元方法对于构造黎曼度量无能为力，普适的黎曼度量的构造方法只有离散里奇流方法。将里奇流方法引入EDA-CAE领域，看来是大势所趋。

现实世界中的实体是3维流形，3维流形没有共形几何，因此复几何的方法无法直接应用于六面体网格剖分，这是圣杯问题长期悬而未决的核心原因之一。

最近，3流形拓扑理论的迅猛发展为圣杯问题的解决带来了曙光。为了研究曲面的拓扑，我们经常在曲面上选取一些圈儿，这些圈儿被称为是“本质的”，如果它们无法在曲面上缩成点。我们将曲面沿着本质圈儿切开，每一个连通分支的拓扑变得更加简单。反复分解，直至每个连通分支无法再进一步分解。如此得到曲面的“裤管”分解（pants decomposition）。对于3流形，我们可以用同样的手法进行分解，从而简化问题。这时，我们需要寻找3流形内部的“本质曲面”。本质曲面包含所谓的不可压缩曲面（incompressible surface），不可压缩曲面的定义有如下要求：曲面上本质的圈儿在3流形内部也无法缩成一个点，即曲面的基本群嵌入在3流形的基本群内。如果3-流形内部存在嵌入的、双侧的不可压缩曲面，我们将其一分为二，然后对每个分支再进行分解，直至无法进一步分解。这样的3-流形被称为是哈肯流形（Haken manifold）。

图12. 曲轴的六面体网格（朱一鸣、齐志辉、房思宇）。

瑟斯顿（William Thurston）为3流形理论建立了几何化框架（geomitrization）：我们可以用不可压缩球面将三流形分解，直至无法进一步分解，从而得到多个素的3-流形；每个素的3-流形再沿着不可压缩轮胎面进行所谓的JSJ分解，最后得到的每个单元可以配备8种标准几何中的一种。瑟斯顿曾经提出了3流形拓扑方面的23个问题和59个猜想，虚拟哈肯猜想是最后两个被证明的猜想。虚拟哈肯猜想是说：双曲三流形都是虚拟哈肯的，这里虚拟的意思是存在双曲3流形的有限重覆盖空间，这个覆盖空间是哈肯的。数学家们为了证明虚拟哈肯猜想发展出了“立方复形理论”（cube complex theory），而立方复形就是六面体网格剖分，从而为圣杯问题的解决指明了方向。

图13. 电池盒的六面体网格（朱一鸣、齐志辉、房思宇，陈雅正，蒲玉龙）。

石溪大学的博士后Kanh和Markovic证明了双曲3流形内部存在很多浸入的不可压缩曲面，他们的想法是考察双曲3流形的定向正交标准标架丛上的标架流（frame flow），这个流驱动一条双曲裤管遍历整个丛，多条裤管衔接得到很多几乎全测地的曲面，从而得到浸入的不可压缩曲面。所谓浸入（immersion）就是说曲面有自相交。如果我们能够通过有限覆盖去除自相交，那么我们就可以证明虚拟哈肯猜想。如图14所示，蓝色的圆圈浸入到2亏格的曲面中，像带有自相交点。过自相交点的绿色圈在蓝色圈上并不封闭，但在曲面上封闭。蓝色圈的基本群的像是曲面基本群的子群，对应着左上角的覆盖空间，在这个覆盖空间中，蓝圈不再自相交，从而浸入被提升为嵌入（embedding）。但是这个覆盖空间覆盖原曲面无穷多重。我们需要找到有限重覆盖空间，例如右上角的双重覆盖空间，这里绿色的圈被提升为非封闭的路径，蓝色的圈从浸入被提升为嵌入。

证明双曲3流形基本群中曲面的子群可分是一个非常困难的问题。如图所示，数学家们将3流形的基本群（也包括浸入不可压缩曲面的基本群）嵌入到一个具有良好可分性质的大群中，从而解决了问题。这个大群通常选为直角Artin群RAAG（Right Angled Artin Group），RAAG是所谓Salveti复形的基本群。因此问题归结为如何将双曲3流形映射到Salveti复形中，同时保证基本群的嵌入（即诱导的基本群间的同态为单射）。Haglund和Wise证明如果双曲3流形存在立方复形即六面体网格剖分，那么可以构造Salveti复形，并且建立到Salveti复形的映射。更进一步，Wise猜想如果立方复形没有病态情形（即特殊的立方复形 special cube complex），那么这些映射是局部等距映射 (local isometry)，可以保证基本群的嵌入。然后Wise应用Stalling折叠技术，典范完备方法构造Salveti复形的有限覆盖 （图15中的右上角复形），使得在其中为嵌入；再用与的纤维积（fiber product）得到复形

3流形拓扑的立方复形理论为六面体网格生成奠定了理论基础。基于这个理论，Ben、传林和笔者团队开发了理论严密、工程严谨实用的工业软件系统，并且在委托Beta CAE团队在真实数据集中进行严格测试。特别地，这套算法应用于3DIC（三维集成电路芯片）的模拟仿真中(图16），极大地提升了效率和质量。

在2025年国际基础科学大会期间，笔者向丘成桐先生汇报了如何将现代微分几何理论应用于工程实践。会议期间，丘先生多次在家中宴请国际友人和国内数学家们。席间来自意大利的理论物理学家们问丘先生：“我们研究了一辈子黎曼几何，但是我一直疑惑是否黎曼几何真被应用到实际之中？”丘先生指着笔者说道“最近我们早期的一些理论工作已经深入到工业界的应用之中！”笔者继续补充到“最近，谷歌手机用到了我们开发的AI生成模型，而这一模型正是基于丘先生早年建立的蒙日-安培方程理论。芯片工业发展到今日，已经逼近物理极限。为了突破这一瓶颈，人们开始将芯片叠置起来形成3DIC，而3DIC技术为仿真带来巨大挑战。为了解决这一挑战，我们基于黎曼-罗赫和里奇流理论，发展了六面体网格生成技术。目前，里奇流是唯一的能够设计黎曼度量的计算方法，为了必将和有限元方法并驾齐驱。”意大利学者们听后非常激动（历史上著名的黎曼几何学家Ricci，Levi-Civita，Christoffel和Bianchi都是意大利人），大家都看到了现代数学理论对于科技的切实推动作用。